📐 משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות

1. (3, 4) ו-(4, 3) — y=7−x. x²+(7−x)²=25, 2x²−14x+49=25, 2x²−14x+24=0, x²−7x+12=0, (x−3)(x−4)=0.
2. (1, 2) ו־(4, 5) — משווים בין הביטויים: x²−4x+5=x+1, ולכן x²−5x+4=0. מפרקים: (x−1)(x−4)=0, ומקבלים x=1 או x=4. בהצבה ב־y=x+1 מתקבלות נקודות החיתוך (1, 2) ו־(4, 5).
3. x = 7 או x = −7 — x² = 49 → x = √49 = 7 או x = −√49 = −7.
4. x = 2 או x = 1/2 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 2, x₂ = 1/2.
5. x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) — זוהי הנוסחה הריבועית הסטנדרטית.
6. x = ±1 או x = ±2 — t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 או t = 4. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2.
7. 2 מ' — יהי רוחב x מ'. אז אורך = x + 4 מ'. שטח: x(x+4) = 12 ⟹ x² + 4x − 12 = 0. מחפשים שני מספרים שסכומם 4 ומכפלתם −12: המספרים הם 6 ו־−2 (כי 6·(−2)=−12 וגם 6+(−2)=4). לכן x² + 4x − 12 = (x+6)(x−2) = 0, ומכאן x=−6 או x=2. מכיוון שרוחב חייב להיות חיובי, x = 2 מ'.
8. 3 < x < 7 — −x² + 10x − 21 > 0. שורשים: x = 3, x = 7. a < 0: פרבולה חיובית בין השורשים.
9. x = 3 או x = 1/2 — (2x − 1)(x − 3) = 0. לכן x = 1/2 או x = 3.
10. 0 — Δ = b² − 4ac = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד.
11. −3 — לפי וייאטה: x₁ + x₂ = −b/a = −3/1 = −3.
12. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
13. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
14. x = 7 או x = −7 — x² = 49 ⟹ x = ±√49 = ±7.
15. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0, (x−2)(x−3) = 0, x = 2 או x = 3.