משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 3/2 או x = −3/2 — 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3) = 0. 2x = 3 → x = 3/2 או 2x = −3 → x = −3/2.
2. −3 < k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: −3 < k < 3 וk ≠ 0.
3. x = 2 או x = 5 — (x − 2)(x − 5) = 0 → x = 2 או x = 5.
4. כל הממשיים — x² תמיד אי-שלילי לכל x ממשי, לכן x² ≥ 0 לכל x.
5. כל x ≠ 0 — x² ≥ 0 תמיד, ו־x² = 0 רק כש־x = 0. לכן x² > 0 לכל x ≠ 0.
6. x = 2 או x = 1/2 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 2, x₂ = 1/2.
7. m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
8. אין נקודות חיתוך — x² = −1 אין לה פתרון ממשי כי x² ≥ 0 תמיד.
9. −2 ≤ x ≤ 4 — (x−4)(x+2) ≤ 0 — הכפל אי-חיובי בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 4.
10. x = 2 — (x − 2)² = 0 רק כאשר x − 2 = 0, לכן x = 2 (שורש כפול).
11. (x − 5)(x + 5) — x² − 25 = x² − 5². הפרש ריבועים: (x − 5)(x + 5).
12. x = 2 ו x = −5 — מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0: x − 2 = 0 → x = 2; x + 5 = 0 → x = −5.
13. 50 ק״מ/ש — 300/v − 300/(v+10)=1 → 3000=v²+10v → v²+10v−3000=0. פתרון: v=50.
14. x > 2 או x < −3 — (x+3)(x−2) > 0 — שניהם חיוביים (x>2) או שניהם שליליים (x<−3).
15. x = 5 או x = −5 — x² = 25 גורר x = ±√25 = ±5.
16. 6 ו-7 — נסמן n(n+1)=42. 6·7=42, ולכן המספרים הם 6 ו-7.
17. 4 או −4 — (x+y)² = x²+2xy+y² = 10+6 = 16. לכן x+y = ±4.
18. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.
19. x = 7 או x = −7 — x² = 49 ⟹ x = ±√49 = ±7.
20. x = 3 או x = 1/2 — (2x − 1)(x − 3) = 0. לכן x = 1/2 או x = 3.