משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 3(2x − 5y)(2x + 5y) — הוציאו גורם 3: 3(4x² − 25y²). כעת 4x² − 25y² = (2x)² − (5y)² = (2x − 5y)(2x + 5y). לכן 12x² − 75y² = 3(2x − 5y)(2x + 5y).
2. t = 4 שניות — h = 0: 20t − 5t² = 0 → 5t(4−t) = 0 → t = 0 (שיגור) או t = 4.
3. x = 2 או x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
4. 12 ק״מ/ש — 30/(v+3) = 18/(v−3) → 30(v−3) = 18(v+3) → 30v−90=18v+54 → 12v=144 → v=12.
5. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
6. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
7. x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) — זוהי הנוסחה הריבועית הסטנדרטית.
8. x = 3 ו x = −3 — x² + 2x + 1 = 2x + 10 → x² = 9 → x = ±3.
9. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0, (x−2)(x−3) = 0, x = 2 או x = 3.
10. 16 ; 4 — (x + 4)² = x² + 8x + 16. החסר: 16, בתוך הסוגריים: 4.
11. (4x − 5y)(4x + 5y) — 16x² − 25y² = (4x)² − (5y)². הפרש ריבועים: (4x − 5y)(4x + 5y).
12. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
13. שניים: 3 ו-−3 — x² = 9 → x = ±3. שני פתרונות.
14. (−1, 1) ו־(2, 4) — x² = x + 2, x² − x − 2 = 0, (x−2)(x+1) = 0, x = 2 או x = −1. נקודות: (2,4) ו(−1,1).
15. 0 < x < 2 — x² − 4 < 0 → −2 < x < 2. צמצום עם x > 0: 0 < x < 2.
16. x = 2 או x = 3 — x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) = 0, ולכן x = 2 או x = 3.
17. x = 4 ו-x = −10 — x+3 = ±7. לכן x = 4 או x = −10.
18. כל הממשיים — x² תמיד אי-שלילי לכל x ממשי, לכן x² ≥ 0 לכל x.
19. אין פתרונות ממשיים — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרונות ממשיים.
20. −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3 — x² ≤ 9 → −3 ≤ x ≤ 3. x² ≥ 1 → x ≤ −1 או x ≥ 1. החיתוך: −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3.