משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. −3 < m < 3 ו-m ≠ 0 — לשני פתרונות: Δ > 0. Δ = 36 − 4m² > 0 → m² < 9 → −3 < m < 3. גם m ≠ 0 (כדי שתהיה משוואה ריבועית).
2. k = 4 — Δ = (−4)² − 4 · k · 1 = 16 − 4k = 0 → k = 4.
3. −4 ≤ x ≤ 4 — x² ≤ 16 פירושו −4 ≤ x ≤ 4.
4. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5, x² + 4x + 4 = 9, (x + 2)² = 9, x + 2 = ±3. x = 1 או x = −5.
5. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
6. אין פתרון ממשי — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרונות ממשיים.
7. 5 ס״מ — x(x + 7) = 60 → x² + 7x − 60 = 0 → (x + 12)(x − 5) = 0 → x = 5.
8. x = 7 או x = −7 — x² = 49 → x = √49 = 7 או x = −√49 = −7.
9. x = 4 או x = −2 — אם מכפלה = 0 אז אחד הגורמים שווה 0. x − 4 = 0 → x = 4, או x + 2 = 0 → x = −2.
10. 2 < x < 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). הביטוי שלילי בין השורשים: 2 < x < 3.
11. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.
12. x = 5 או x = −5 — x² = 25 פירושו x = √25 או x = −√25, כלומר x = 5 או x = −5.
13. תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
14. x = (5 ± √13)/2 — Δ = 25 − 12 = 13. x = (5 ± √13)/2.
15. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
16. x = 6 — 45x + 300 = 570 → 45x = 270 → x = 6.
17. −4 < x < 2 — x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). שורשים: −4 ו־2. הפרבולה שלילית בין השורשים: −4 < x < 2.
18. 40 ק״מ/ש — 200/v − 200/(v+20) = 1 → 200·20 = v(v+20) → v²+20v−4000=0 → v=40.
19. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
20. (x − 5)(x + 5) — x² − 25 = x² − 5². הפרש ריבועים: (x − 5)(x + 5).