משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). כעת x² − 4 = (x − 2)(x + 2). לכן x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
2. 40 ק״מ/ש — 200/v − 200/(v+20) = 1 → 200·20 = v(v+20) → v²+20v−4000=0 → v=40.
3. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
4. m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
5. x = −2 — (x + 2)² = 0 → x + 2 = 0 → x = −2 (פתרון כפול).
6. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5 → (x + 2)² − 4 = 5 → (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
7. x = 2 או x = −3 — פירוק: (x + 3)(x − 2) = 0, לכן x = −3 או x = 2.
8. 12 מ׳ — x(x − 3) = 108 → x² − 3x − 108 = 0 → (x − 12)(x + 9) = 0 → x = 12.
9. x > 3 או x < −1 — x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). שורשים: 3 ו-−1. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים: x > 3 או x < −1.
10. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
11. כל הממשיים — x² תמיד אי-שלילי לכל x ממשי, לכן x² ≥ 0 לכל x.
12. 20 ש״ח — x קודקוד = −80 / (2·(−2)) = 80/4 = 20 ש״ח.
13. x < −2 או x > 4 — (x − 4)(x + 2) > 0. הפרבולה פותחת למעלה, מעל ציר x כאשר x < −2 או x > 4.
14. x < −2 או x > 3 — שורשים: x = 3 ו-x = −2. הפרבולה פותחת כלפי מעלה, ולכן הביטוי חיובי מחוץ לשורשים.
15. x = 5 ו x = 2 — x = (7 ± √(49−40))/2 = (7 ± 3)/2. לכן x = 5 או x = 2.
16. (1, 0) ו־(3, 2) — x²−3x+2=x−1, x²−4x+3=0, (x−1)(x−3)=0. נקודות: (1,0) ו(3,2).
17. x=2 או x=−5 — Δ=9+40=49. x=(−3±7)/2. x=4/2=2 או x=−10/2=−5.
18. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
19. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
20. x = 3/2 או x = −3/2 — 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3) = 0. 2x = 3 → x = 3/2 או 2x = −3 → x = −3/2.