טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 3/5 — אלכסון המלבן = √(4²+3²) = 5. sin(α) = ניצב נגדי / יתר = 3/5.
2. 6 ס״מ — sin(60°) = √3/2 = 3√3/יתר, לכן יתר = 3√3 / (√3/2) = 3√3 · 2/√3 = 6 ס״מ.
3. 4/5 — sin = צלע נגדית / יתר. הצלע מול הזווית היא 4, היתר 5. sin = 4/5.
4. 10 ס״מ — sin(30°) = רגל/ייתר = 5/c, לכן c = 5/sin(30°) = 5/(1/2) = 10 ס״מ.
5. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
6. 3.49 מ׳ — היסט = 40 × sin(5°) = 40 × 0.0872 ≈ 3.49 מ׳.
7. 9√3 ס״מ² — גובה = 6·sin(60°) = 6·√3/2 = 3√3. שטח = (1/2)·6·3√3 = 9√3 ס״מ².
8. 45° — tan(α) = 6/6 = 1, לכן α = 45°.
9. הצלע הניצבת מול α חלקי היתר — sin α = צלע מול / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הסינוס.
10. 0.5 — הגובה חוצה את הזווית בקודקוד (60°) לשתי זוויות של 30°. הזווית בין הגובה לצלע הצדדית = 30°. cos(30°) = √3/2. אך הגובה עושה עם הצלע הצדדית זווית של 90°−60°=30°. cos(30°) = √3/2. שגיאה — הזווית בין הגובה (מהקודקוד) לצלע הצדדית: הגובה הוא גם תיווך זווית, הזווית = 30°, cos(30°) = √3/2. אך אם מדובר בגובה מהבסיס לצלע, הזווית היא 60°, cos(60°) = 0.5.
11. 7 ס״מ — tan 45° = 1 = ניגדית / סמוכה. אם ניגדית = 7, אז סמוכה = 7.
12. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.
13. נכון: 1 − 3/4 = 1/4 — sin²α = (√3/2)² = 3/4. cos²α = 1 − 3/4 = 1/4. ✓
14. 84 ס״מ² — sin α = 7/25, ניגדית = 7. יתר = 25. סמוכה = √(625−49) = √576 = 24. שטח = (1/2) × 7 × 24 = 84.
15. d/√2 — בריבוע עם צלע a, האלכסון d = a√2, לכן a = d/√2.
16. 0.51 — מהזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.49 = 0.51.
17. 3/4 — tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4.
18. 4√3 ס״מ — tan(60°) = ניצב נגדי / ניצב צמוד = √3, לכן ניצב נגדי = 4√3 ס״מ.
19. 30° — cos(30°) = √3/2, לכן α = 30°.
20. 173 מ׳ — tan 60° = גובה/100 → גובה = 100·√3 ≈ 173 מ׳.
21. 44.6 מ׳ — גובה מעל עיניים = 30 × tan(55°) ≈ 42.85 מ׳. גובה כולל = 42.85 + 1.7 ≈ 44.55 ≈ 44.6 מ׳.
22. 30° — sin(α) = 5/10 = 0.5, לכן α = sin⁻¹(0.5) = 30°.
23. 10 ס״מ — sin(30°) = 0.5 = 5/יתר, לכן יתר = 5/0.5 = 10 ס״מ.
24. 1 — האלכסונים של ריבוע מאונכים זה לזה, לכן הזווית ביניהם 90°. sin(90°) = 1.
25. tan α = sin α / cos α — tan α = sin α / cos α. זוהי הגדרת הטנגנס באמצעות סינוס וקוסינוס.