📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות

1. 2/3 — tan = עלייה / רוחב = 20/30 = 2/3.
2. p / √(1 − p²) — cos α = √(1 − sin²α) = √(1 − p²). tan α = sin α / cos α = p / √(1 − p²).
3. 12/13 — cos = 5/13: סמוכה=5, יתר=13. ניגדית = √(169−25) = √144 = 12. sin = 12/13.
4. $60°$ — מהטבלה הטריגונומטרית של הזוויות הסטנדרטיות: $\sin(30°) = \dfrac{1}{2}$, $\sin(45°) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(90°) = 1$. מכיוון ש־$\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, מתקבל $\alpha = 60°$.
5. 10 ס״מ — sin(30°) = רגל/ייתר = 5/c, לכן c = 5/sin(30°) = 5/(1/2) = 10 ס״מ.
6. 1.25 — tan(α) = גובה / צל = 5/4 = 1.25.
7. sin²α + cos²α = 1 — sin²α + cos²α = 1 היא הזהות הפיתגוראית הבסיסית, הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס.
8. 5 ס״מ — sin(30°) = רוחב / אלכסון = 0.5, לכן רוחב = 10 · 0.5 = 5 ס״מ.
9. √2/2 — אלכסון הריבוע = √2, הזווית בין האלכסון לצלע = 45°. sin(45°) = √2/2.
10. ≈ 69 מ׳ — tan(30°) = גובה / צל → צל = גובה / tan(30°) = 40 / 0.577 ≈ 69 מ׳.
11. 4/3 — tan α = sin α / cos α = 0.8 / 0.6 = 4/3.
12. 10 ס״מ — sin(30°) = 0.5 = 5/יתר, לכן יתר = 5/0.5 = 10 ס״מ.
13. 36.87° — גובה = 9 מ׳. tan(α) = 9/12 = 0.75 → α ≈ 36.87°.
14. 0 — הגובה במשולש שווה צלעות הוא מאונך לבסיס, כלומר הזווית ביניהם היא 90°, וcos(90°) = 0.
15. t = π/4 — sin(t) = cos(t) כאשר tan(t) = 1, כלומר t = π/4.