📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות

1. 3/5 — אלכסון המלבן = √(4²+3²) = 5. sin(α) = ניצב נגדי / יתר = 3/5.
2. sin α · cos α = 0.22 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2sin α cos α + cos²α = 1 + 2sin α cos α = 1.44. לכן 2sin α cos α = 0.44 → sin α cos α = 0.22.
3. 1.25 — tan(α) = גובה / צל = 5/4 = 1.25.
4. 3.49 מ׳ — היסט = 40 × sin(5°) = 40 × 0.0872 ≈ 3.49 מ׳.
5. 1/2 — ערך סינוס של 30° הוא 0.5 = 1/2 (ערך בסיסי בטריגונומטריה).
6. ≈ 69 מ׳ — tan(30°) = גובה / צל → צל = גובה / tan(30°) = 40 / 0.577 ≈ 69 מ׳.
7. 1 — לכל זווית α, sin²α + cos²α = 1. לכן גם עבור 30°.
8. √3/2 — הגובה מקודקוד המשולש השווה-צלעות חוצה את זווית הקודקוד (60°) לשני חלקים שווים של 30° כל אחד. הזווית בין הגובה לצלע הצדדית (בקודקוד שממנו יורד הגובה) היא אפוא 30°, ו-cos(30°) = √3/2.
9. הצלע הניצבת מול α חלקי היתר — sin α = צלע מול / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הסינוס.
10. √3/3 — tan α = sin α / cos α = 0.5 / (√3/2) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3.
11. 2 מ' — cos(θ) מינימלי כש-cos(θ) = −1. אז h = 1 − (−1) = 2 מ'.
12. √3 ס״מ — הגובה מחצה את הבסיס, ומקבלים משולש ישר זווית עם זווית 60°, יתר 2, ניצב הצמוד 1. גובה = 2·sin(60°) = 2·√3/2 = √3.
13. 0.8 — מהזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.36 = 0.64, לכן cos α = 0.8.
14. 4/5 — sin²α + cos²α = 1. (3/5)² + cos²α = 1. cos²α = 1 − 9/25 = 16/25. cos α = 4/5.
15. נכון: 1 − 3/4 = 1/4 — sin²α = (√3/2)² = 3/4. cos²α = 1 − 3/4 = 1/4. ✓