📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות

1. 1 — sin²45° = cos²45° = 1/2. sin²45° − cos²45° = 0. 2sin 45° cos 45° = 2 · (√2/2) · (√2/2) = 2 · 1/2 = 1. סכום = 0 + 1 = 1.
2. d/√2 — בריבוע עם צלע a, האלכסון d = a√2, לכן a = d/√2.
3. 6 ס״מ — sin(30°) = מול/יתר. מול = 0.5 · 12 = 6 ס״מ.
4. 24/25 — cos²α = 1 − (7/25)² = 1 − 49/625 = 576/625 → cos α = 24/25.
5. 44.6 מ׳ — גובה מעל עיניים = 30 × tan(55°) ≈ 42.85 מ׳. גובה כולל = 42.85 + 1.7 ≈ 44.55 ≈ 44.6 מ׳.
6. 15 ס״מ — b = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 ס״מ.
7. 7 ס״מ — tan 45° = 1 = ניגדית / סמוכה. אם ניגדית = 7, אז סמוכה = 7.
8. 36.87° — גובה = 9 מ׳. tan(α) = 9/12 = 0.75 → α ≈ 36.87°.
9. ≈ 69 מ׳ — tan(30°) = גובה / צל → צל = גובה / tan(30°) = 40 / 0.577 ≈ 69 מ׳.
10. 3.49 מ׳ — היסט = 40 × sin(5°) = 40 × 0.0872 ≈ 3.49 מ׳.
11. √3/2 — הגובה מקודקוד המשולש השווה-צלעות חוצה את זווית הקודקוד (60°) לשני חלקים שווים של 30° כל אחד. הזווית בין הגובה לצלע הצדדית (בקודקוד שממנו יורד הגובה) היא אפוא 30°, ו-cos(30°) = √3/2.
12. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
13. √3/3 — tan α = sin α / cos α = 0.5 / (√3/2) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3.
14. 10√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / 20 = √3/2, לכן ניצב צמוד = 20 · √3/2 = 10√3 ס״מ.
15. 2/3 — tan = עלייה / רוחב = 20/30 = 2/3.