📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות

1. sin α · cos α = 0.22 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2sin α cos α + cos²α = 1 + 2sin α cos α = 1.44. לכן 2sin α cos α = 0.44 → sin α cos α = 0.22.
2. sin²α + cos²α = 1 — sin²α + cos²α = 1 היא הזהות הפיתגוראית הבסיסית, הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס.
3. 15/√(225+625) — היתר = √(15²+25²) = √(225+625) = √850. sin = ניגדית/יתר = 15/√850.
4. 44.6 מ׳ — גובה מעל עיניים = 30 × tan(55°) ≈ 42.85 מ׳. גובה כולל = 42.85 + 1.7 ≈ 44.55 ≈ 44.6 מ׳.
5. 1 — לכל זווית α, sin²α + cos²α = 1. לכן גם עבור 30°.
6. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
7. 5 ס״מ — sin 30° = ניגדית / יתר. 0.5 = ניגדית / 10. ניגדית = 5 ס״מ.
8. 5 ס״מ — sin(30°) = רוחב / אלכסון = 0.5, לכן רוחב = 10 · 0.5 = 5 ס״מ.
9. a√2 — בריבוע, האלכסון = a√2 (ממשפט פיתגורס: √(a²+a²) = a√2).
10. 12/13 — cos = 5/13: סמוכה=5, יתר=13. ניגדית = √(169−25) = √144 = 12. sin = 12/13.
11. 1 — sin²45° = cos²45° = 1/2. sin²45° − cos²45° = 0. 2sin 45° cos 45° = 2 · (√2/2) · (√2/2) = 2 · 1/2 = 1. סכום = 0 + 1 = 1.
12. √3/2 — sin²30° + cos²30° = 1. (1/2)² + cos²30° = 1. cos²30° = 3/4. cos 30° = √3/2 ≈ 0.866.
13. 45° — tan(45°) = 1, לכן α = 45°.
14. √2/2 — אלכסון הריבוע = √2, הזווית בין האלכסון לצלע = 45°. sin(45°) = √2/2.
15. 12 — sin(A) = BC / AB = BC / 20 = 0.6. לכן BC = 12.