📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות

1. 1/2 — cos(60°) = 1/2 — ערך בסיסי בטריגונומטריה.
2. נכון: 1 − 3/4 = 1/4 — sin²α = (√3/2)² = 3/4. cos²α = 1 − 3/4 = 1/4. ✓
3. 4 — tan²60° + 1 = (√3)² + 1 = 3 + 1 = 4. ולאימות: 1/cos²60° = 1/(1/2)² = 1/(1/4) = 4. ✓
4. 12 — sin(A) = BC / AB = BC / 20 = 0.6. לכן BC = 12.
5. 10√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / 20 = √3/2, לכן ניצב צמוד = 20 · √3/2 = 10√3 ס״מ.
6. sin α · cos α = 0.22 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2sin α cos α + cos²α = 1 + 2sin α cos α = 1.44. לכן 2sin α cos α = 0.44 → sin α cos α = 0.22.
7. 58.3 מ׳ — √(50² + 30²) = √(2500 + 900) = √3400 ≈ 58.3 מ׳.
8. √3/2 — הגובה מקודקוד המשולש השווה-צלעות חוצה את זווית הקודקוד (60°) לשני חלקים שווים של 30° כל אחד. הזווית בין הגובה לצלע הצדדית (בקודקוד שממנו יורד הגובה) היא אפוא 30°, ו-cos(30°) = √3/2.
9. 0 — הגובה במשולש שווה צלעות הוא מאונך לבסיס, כלומר הזווית ביניהם היא 90°, וcos(90°) = 0.
10. √3 ס״מ — הגובה מחצה את הבסיס, ומקבלים משולש ישר זווית עם זווית 60°, יתר 2, ניצב הצמוד 1. גובה = 2·sin(60°) = 2·√3/2 = √3.
11. 8√3 מ׳ — sin(60°) = 12/חוט → חוט = 12/sin(60°) = 12/(√3/2) = 24/√3 = 8√3 מ׳.
12. 0.5 — sin(150°) = sin(180° − 30°) = sin(30°) = 0.5.
13. 2/3 — tan = עלייה / רוחב = 20/30 = 2/3.
14. 45° — tan(α) = 25/25 = 1 → α = 45°.
15. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.