📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

מפתח תשובות

1. כ-37° — tan(α) = 3/4 = 0.75. tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87° ≈ 37°.
2. 0.8 — מהזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.36 = 0.64, לכן cos α = 0.8.
3. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.
4. 24/25 — cos²α = 1 − (7/25)² = 1 − 49/625 = 576/625 → cos α = 24/25.
5. 45° — tan(45°) = 1, לכן α = 45°.
6. 5/13 — AC = √(25+144) = 13. cos(∠BAC) = AB/AC = 5/13.
7. tan α = sin α / cos α — tan α = sin α / cos α. זוהי הגדרת הטנגנס באמצעות סינוס וקוסינוס.
8. 0.75 — tan = sin/cos = 0.6/0.8 = 0.75.
9. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
10. p / √(1 − p²) — cos α = √(1 − sin²α) = √(1 − p²). tan α = sin α / cos α = p / √(1 − p²).
11. √3/2 — הגובה מקודקוד המשולש השווה-צלעות חוצה את זווית הקודקוד (60°) לשני חלקים שווים של 30° כל אחד. הזווית בין הגובה לצלע הצדדית (בקודקוד שממנו יורד הגובה) היא אפוא 30°, ו-cos(30°) = √3/2.
12. 5 ס״מ — sin 30° = ניגדית / יתר. 0.5 = ניגדית / 10. ניגדית = 5 ס״מ.
13. 173 מ׳ — tan 60° = גובה/100 → גובה = 100·√3 ≈ 173 מ׳.
14. a√2 — אלכסון = √(a²+a²) = a√2. גם אפשר מ-sin(45°) = a/אלכסון, לכן אלכסון = a/sin(45°) = a√2.
15. sin α · cos α = 0.22 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2sin α cos α + cos²α = 1 + 2sin α cos α = 1.44. לכן 2sin α cos α = 0.44 → sin α cos α = 0.22.