📈

כללי גזירה — נוסחאות נגזרות

דף הנוסחאות המלא לכללי גזירה (נגזרות): מהנגזרת הבסיסית של xⁿ ועד כלל השרשרת ונגזרות של סינוס, קוסינוס, e^x ו-ln(x). הדפיסו ושמרו ליד המחברת בזמן פתרון תרגילי חדו״א.

טבלת הנוסחאות

נגזרת של פונקציית חזקה

(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}

מתי משתמשים: הכלל הבסיסי ביותר — הבסיס לכל שאר כללי הגזירה.

דוגמה:

(x^{3})^{'} = 3 x^{2}

נגזרת של קבוע וסכום

(c)^{'} = 0, (f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}

מתי משתמשים: נגזרת של מספר קבוע היא 0; נגזרת של סכום פונקציות היא סכום הנגזרות.

דוגמה:

(3 x^{2} + 5)^{'} = 6 x + 0 = 6 x

כלל המכפלה

(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

מתי משתמשים: גוזרים מכפלה של שתי פונקציות — לא כופלים את הנגזרות זו בזו.

דוגמה:

f = x^{2}, g = x + 1 \Rightarrow (f g)^{'} = 2 x (x + 1) + x^{2} \cdot 1 = 3 x^{2} + 2 x

כלל המנה

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

מתי משתמשים: גוזרים מנה של שתי פונקציות.

דוגמה:

f = x, g = x + 1 \Rightarrow (\frac{f}{g})^{'} = \frac{( x + 1 ) - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

כלל השרשרת

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

מתי משתמשים: גוזרים פונקציה מורכבת ("פונקציה בתוך פונקציה") — גוזרים מבחוץ פנימה וכופלים בנגזרת הפנימית.

דוגמה:

((3 x + 1)^{2})^{'} = 2 (3 x + 1) \cdot 3 = 6 (3 x + 1)

נגזרות טריגונומטריות ואקספוננציאליות

(sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x, (e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x}

מתי משתמשים: נגזרות של הפונקציות הבסיסיות הנוספות בחדו״א.

דוגמה:

(3 sin x + e^{x})^{'} = 3 cos x + e^{x}

שאלות נפוצות

מהם כללי הגזירה הבסיסיים?

נגזרת של xⁿ היא n·xⁿ⁻¹. נגזרת של קבוע היא 0. נגזרת של סכום היא סכום הנגזרות: (f+g)' = f'+g'.

מה זה כלל המכפלה בגזירה?

כשגוזרים מכפלה של שתי פונקציות (f·g)' = f'g + fg' — גוזרים כל אחת בתורה ומכפילים בשנייה כפי שהיא, ולא כופלים את הנגזרות זו בזו.

איך משתמשים בכלל השרשרת?

כלל השרשרת (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) מיועד לפונקציה מורכבת. גוזרים קודם את הפונקציה החיצונית (משאירים את הפנימית כמו שהיא), וכופלים בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

מה נגזרת של sin, cos, e^x ו-ln(x)?

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (eˣ)' = eˣ (הפונקציה היחידה ששווה לנגזרת שלה), ו-(ln x)' = 1/x.

המשיכו ללמוד ולתרגל

← כל דפי הנוסחאות