דף עבודה: חדו״א

מפתח תשובות

1. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
2. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
3. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
4. 75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
5. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
6. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
7. $x^{3} + 2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2} + 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3} + 2x^{2}$ נותנת $3x^{2} + 4x$.
8. $\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
9. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
10. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
11. $2x^{5} - x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (10x^{4} - 2x)dx = 2x^{5} - x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
12. $\frac{3}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{3}dx = 3 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{4}x^{4} + c$.
13. $x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{2}$ נותנת 2x.
14. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
15. $4x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 20x^{4}dx = 20 \cdot x^{5}/5 + c = 4x^{5} + c$.