דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קל)

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.מהו $cos (31 5^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
2.פתרו את המשוואה $sin x = \frac{1}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = - 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
3.כמה רדיאנים שווה הזווית $30 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{5 π}{3}$
(ב) $\frac{π}{3}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{6}$
4.מהו $cos (\frac{π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $0$
5.השלימו את הזהות: $1 + tan^{2} α = ?$
(א) $\frac{1}{c o s ^{2} α}$
(ב) $1$
(ג) $cos^{2} α$
(ד) $\frac{1}{s i n ^{2} α}$
6.לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ . אם $a = 10, A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ , מהו $b$ ?
(א) $20$
(ב) $5$
(ג) $15$
(ד) $10$
7.השלימו את הזהות: $cos (2 α) = ?$ (אחת הצורות)
(א) $sin^{2} α - cos^{2} α$
(ב) $2 sin α cos α$
(ג) $cos^{2} α - sin^{2} α$
(ד) $1 + 2 sin^{2} α$
8.מהו $sin (24 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$
9.כמה רדיאנים שווה הזווית $4 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{4}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{2}$
10.נתון $sin α = \frac{8}{17}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $cos α$ ?
(א) $\frac{17}{15}$
(ב) $\frac{8}{17}$
(ג) $\frac{15}{17}$
(ד) $- \frac{15}{17}$
11.מהי המשרעת של $y = - 2 cos x$ ?
(א) $4$
(ב) $2$
(ג) $1$
(ד) $- 2$
12.השלימו את הזהות: $sin (α + β) = ?$
(א) $sin α cos β - cos α sin β$
(ב) $sin α cos β + cos α sin β$
(ג) $cos α cos β - sin α sin β$
(ד) $cos α cos β + sin α sin β$
13.מהו $tan (18 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $3$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $1$
14.פתרו את המשוואה $cos x = 0$ (פתרון כללי).
(א) $x = 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = \pm 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ד) $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
15.מהו $tan (\frac{5 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{3}{3}$
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$

מפתח תשובות

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$.
$\frac{5\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מזהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, מחלקים את שני האגפים ב-$\cos^2\alpha$ (כאשר $\cos\alpha\neq0$): $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}$. מכיוון ש-$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha$ ו-$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1$, מתקבל $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.
$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ — אחת מצורות נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$.
$\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
$2$ — המשרעת היא $|-2|=2$.
$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
$0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
$x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.