דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.השלימו את הזהות: $cos (18 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $- cos α$
(ב) $cos α$
(ג) $- sin α$
(ד) $sin α$
2.מהו $sin (\frac{3 π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$
3.מהו $cos (\frac{5 π}{4})$ ?
(א) $0$
(ב) $- \frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
4.כמה רדיאנים שווה הזווית $27 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{3 π}{2}$
(ד) $\frac{π}{4}$
5.מהו $cos (4 5^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
6.כמה רדיאנים שווה הזווית $36 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $2 π$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{6}$
7.מהו $cos (27 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
8.נתון $cos α = \frac{4}{5}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{3}{5}$
(ב) $\frac{5}{3}$
(ג) $\frac{4}{5}$
(ד) $- \frac{3}{5}$
9.מהו $tan (36 0^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $3$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
10.השלימו את הזהות: $sin (2 α) = ?$
(א) $sin α cos α$
(ב) $sin^{2} α - cos^{2} α$
(ג) $2 sin α cos α$
(ד) $1 - 2 sin^{2} α$
11.פתרו את המשוואה $cos x = \frac{3}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = \pm 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = \pm 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
12.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{2 π}{3}$ רדיאנים?
(א) $6 0^{\circ}$
(ב) $12 0^{\circ}$
(ג) $3 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
13.נתון $cos α = \frac{3}{5}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{7}{25}$
(ב) $\frac{18}{25}$
(ג) $- \frac{7}{25}$
(ד) $\frac{9}{25}$
14.מהי המשרעת (אמפליטודה) של $y = 3 sin x$ ?
(א) $\frac{1}{3}$
(ב) $3$
(ג) $6$
(ד) $1$
15.נתון $sin α = \frac{3}{5}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $cos α$ ?
(א) $- \frac{4}{5}$
(ב) $\frac{3}{5}$
(ג) $\frac{4}{5}$
(ד) $\frac{5}{4}$

מפתח תשובות

$-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
$0$ — הערך $\cos(270^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
$0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
$2\sin\alpha\cos\alpha$ — נוסחת הזווית הכפולה לסינוס. לכן התשובה היא $2\sin\alpha\cos\alpha$.
$x=\pm30^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm30^\circ+360^\circ k$.
$120^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.
$-\frac{7}{25}$ — מציבים $\cos\alpha=\frac{3}{5}$: $\cos^2\alpha=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}$. לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
$3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
$\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{4}{5}$.