דף עבודה: הסתברות (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"ב · 3 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.שני יורים יורים למטרה. הסתברות הפגיעה של הראשון $\frac{1}{4}$ ושל השני $\frac{2}{5}$ , באופן בלתי תלוי. מהי ההסתברות שלפחות אחד יפגע?
(א) $\frac{1}{10}$
(ב) $\frac{13}{20}$
(ג) $\frac{11}{20}$
(ד) $\frac{9}{20}$
2.מתוך $6$ מתחרים מעניקים מדליות זהב, כסף וארד — סך הכל $2$ מקומות שונים. בכמה דרכים אפשר לחלקם?
(א) $12$
(ב) $30$
(ג) $720$
(ד) $15$
3.מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שהמספר בקובייה הראשונה גדול מהשני?
(א) $\frac{5}{12}$
(ב) $\frac{4}{9}$
(ג) $\frac{7}{18}$
(ד) $\frac{5}{4}$
4.כד מכיל $3$ כדורים אדומים ו־ $7$ כחולים. מוציאים שניים ללא החזרה. מהי ההסתברות לקבל כדור אחד מכל צבע?
(א) $\frac{7}{30}$
(ב) $\frac{21}{100}$
(ג) $\frac{1}{15}$
(ד) $\frac{7}{15}$
5.מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות ששתי הקוביות יראו את אותו המספר?
(א) $\frac{1}{6}$
(ב) $\frac{5}{36}$
(ג) $\frac{7}{36}$
(ד) $\frac{1}{2}$
6.מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות ששתי הקוביות יראו מספר זוגי?
(א) $\frac{1}{4}$
(ב) $\frac{2}{9}$
(ג) $\frac{5}{18}$
(ד) $\frac{3}{4}$
7.שני יורים יורים למטרה. הסתברות הפגיעה של הראשון $\frac{1}{2}$ ושל השני $\frac{1}{3}$ , באופן בלתי תלוי. מהי ההסתברות שלפחות אחד יפגע?
(א) $\frac{1}{3}$
(ב) $\frac{2}{3}$
(ג) $\frac{1}{6}$
(ד) $\frac{5}{6}$
8.כד מכיל $5$ כדורים אדומים ו־ $5$ כחולים. מוציאים שניים ללא החזרה. מהי ההסתברות לקבל כדור אחד מכל צבע?
(א) $\frac{5}{18}$
(ב) $\frac{2}{9}$
(ג) $\frac{5}{9}$
(ד) $\frac{1}{4}$
9.שני יורים יורים למטרה. הסתברות הפגיעה של הראשון $\frac{2}{3}$ ושל השני $\frac{1}{4}$ , באופן בלתי תלוי. מהי ההסתברות שלפחות אחד יפגע?
(א) $\frac{11}{12}$
(ב) $\frac{1}{6}$
(ג) $\frac{3}{4}$
(ד) $\frac{1}{4}$
10.כד מכיל $6$ כדורים אדומים ו־ $4$ כחולים. מוציאים שניים ללא החזרה. מהי ההסתברות לקבל כדור אחד מכל צבע?
(א) $\frac{6}{25}$
(ב) $\frac{8}{15}$
(ג) $\frac{1}{3}$
(ד) $\frac{4}{15}$
11.מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שההפרש המוחלט שווה ל־ $1$ ?
(א) $\frac{1}{4}$
(ב) $\frac{11}{36}$
(ג) $\frac{5}{18}$
(ד) $\frac{5}{6}$
12.מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שהמכפלה זוגית?
(א) $\frac{7}{9}$
(ב) $\frac{9}{4}$
(ג) $\frac{3}{4}$
(ד) $\frac{13}{18}$
13.מתוך $8$ מתחרים מעניקים מדליות זהב, כסף וארד — סך הכל $3$ מקומות שונים. בכמה דרכים אפשר לחלקם?
(א) $40320$
(ב) $24$
(ג) $336$
(ד) $56$
14.כד מכיל $3$ כדורים אדומים ו־ $5$ כחולים. מוציאים שניים ללא החזרה. מהי ההסתברות לקבל כדור אחד מכל צבע?
(א) $\frac{15}{64}$
(ב) $\frac{15}{28}$
(ג) $\frac{3}{28}$
(ד) $\frac{15}{56}$
15.מתוך $7$ מתחרים מעניקים מדליות זהב, כסף וארד — סך הכל $2$ מקומות שונים. בכמה דרכים אפשר לחלקם?
(א) $5040$
(ב) $14$
(ג) $42$
(ד) $21$

מפתח תשובות

$\frac{11}{20}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$.
$30$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $6\cdot5=30$.
$\frac{5}{12}$ — מתוך $36$ התוצאות במרחב המדגם, ב-$6$ מהן שני המספרים שווים (כגון $(1,1),(2,2),\dots,(6,6)$). ב-$30$ התוצאות הנותרות יש סימטריה מלאה בין המקרה שהקובייה הראשונה גדולה מהשנייה לבין המקרה ההפוך, ולכן בדיוק מחציתן, כלומר $30/2=15$ תוצאות, מקיימות שהראשונה גדולה מהשנייה. לכן $P=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$.
$\frac{7}{15}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\frac{7}{15}$.
$\frac{1}{6}$ — מתוך $36$ התוצאות במרחב המדגם, $6$ תוצאות מקיימות את התנאי, ולכן $P=\frac{1}{6}$.
$\frac{1}{4}$ — מתוך $36$ התוצאות במרחב המדגם, $9$ תוצאות מקיימות את התנאי, ולכן $P=\frac{1}{4}$.
$\frac{2}{3}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
$\frac{5}{9}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\frac{5}{9}$.
$\frac{3}{4}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
$\frac{8}{15}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}=\frac{8}{15}$.
$\frac{5}{18}$ — מתוך $36$ התוצאות במרחב המדגם, $10$ תוצאות מקיימות את התנאי, ולכן $P=\frac{5}{18}$.
$\frac{3}{4}$ — מתוך $36$ התוצאות במרחב המדגם, $27$ תוצאות מקיימות את התנאי, ולכן $P=\frac{3}{4}$.
$336$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $8\cdot7\cdot6=336$.
$\frac{15}{28}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\frac{15}{28}$.
$42$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $7\cdot6=42$.