דף עבודה: טריגונומטריה (רמה קל)

מתמטיקה · כיתה י"ב · 4 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.פתור את המשוואה $sin x = \frac{2}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 4 5^{\circ}, 31 5^{\circ}$
(ב) $x = 4 5^{\circ}, 22 5^{\circ}$
(ג) $x = 13 5^{\circ}, 22 5^{\circ}$
(ד) $x = 4 5^{\circ}, 13 5^{\circ}$
2.נתון $sin x = \frac{12}{13}$ ו- $cos x = - \frac{5}{13}$ . מהו $tan x$ ?
(א) $- \frac{5}{13}$
(ב) $- \frac{12}{5}$
(ג) $\frac{12}{13}$
(ד) $\frac{12}{5}$
3.מהו $sin (24 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$
4.נתון $sin x = \frac{3}{5}$ והזווית $x$ ברביע הראשון. מהו $cos x$ ?
(א) $\frac{4}{5}$
(ב) $\frac{3}{5}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{4}{5}$
5.פתור את המשוואה $cos x = 0$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ}$
(ב) $x = 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$
(ג) $x = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$
(ד) $x = 9 0^{\circ}$
6.מהו הערך המינימלי של הפונקציה $y = 2 cos x$ ?
(א) $2$
(ב) $0$
(ג) $- 1$
(ד) $- 2$
7.נתון $sin x = \frac{5}{13}$ ו- $cos x = \frac{12}{13}$ . מהו $sin 2 x$ ?
(א) $\frac{120}{169}$
(ב) $\frac{5}{13}$
(ג) $\frac{119}{169}$
(ד) $- \frac{120}{169}$
8.מהו $tan (4 5^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $1$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
9.מהו $tan (12 0^{\circ})$ ?
(א) $- 3$
(ב) $- \frac{1}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
10.מהו $sin (15 0^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{3}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
11.פתור את המשוואה $tan x = - 1$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 13 5^{\circ}, 31 5^{\circ}$
(ב) $x = 4 5^{\circ}, 22 5^{\circ}$
(ג) $x = 4 5^{\circ}, 31 5^{\circ}$
(ד) $x = 13 5^{\circ}, 22 5^{\circ}$
12.מהו המחזור של הפונקציה $y = cos 3 x$ (במעלות)?
(א) $36 0^{\circ}$
(ב) $9 0^{\circ}$
(ג) $12 0^{\circ}$
(ד) $18 0^{\circ}$
13.מהו שטח המשולש שבו שתי צלעות הן $5$ ו- $8$ והזווית שביניהן היא $15 0^{\circ}$ ?
(א) $5$
(ב) $40$
(ג) $10$
(ד) $20$
14.מהו $sin (9 0^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{1}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $1$
(ד) $\frac{3}{2}$
15.במשולש $A B C$ נתון $a = 3$ , $b = 4$ והזווית שביניהן $C = 9 0^{\circ}$ . מהו אורך הצלע $c$ ?
(א) $25$
(ב) $7$
(ג) $5$
(ד) $7$

מפתח תשובות

$x=45^\circ,\ 135^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $45^\circ$ ו-$135^\circ$, כלומר $x=45^\circ,\ 135^\circ$.
$-\frac{12}{5}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{4}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{4}{5}$.
$x=90^\circ,\ 270^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $90^\circ$ ו-$270^\circ$, כלומר $x=90^\circ,\ 270^\circ$.
$-2$ — מינימום של $\cos x$ הוא $-1$, ולכן $2\cos x$ מגיע ל-$-2$.
$\frac{120}{169}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.
$1$ — במשולש המיוחד 45-45-90: $\sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
$-\sqrt{3}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.
$\frac{1}{2}$ — הזווית $150^\circ$ נמצאת ברביע השני, שם $\sin$ חיובי. זווית הייחוס: $180^\circ-150^\circ=30^\circ$. לכן $\sin(150^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
$x=135^\circ,\ 315^\circ$ — $\tan x = -1$ שלילי, ולכן $x$ ברביע השני או ברביע הרביעי. זווית הייחוס: מכיוון ש-$\tan(45^\circ)=1$, זווית הייחוס היא $45^\circ$. ברביע השני: $x = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. מכיוון שלטנגנס מחזור של $180^\circ$, הפתרון הנוסף מתקבל בהוספת $180^\circ$ לפתרון הראשון: $x = 135^\circ + 180^\circ = 315^\circ$. לכן $x=135^\circ,\ 315^\circ$.
$120^\circ$ — מחזור $=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
$10$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac12 = 10$.
$1$ — הזווית $90^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(90^\circ) = 1$.
$5$ — לפי חוק הקוסינוסים $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 9 + 16 - 2\cdot3\cdot4\cdot(0)$, ולכן $c = 5$.