דף עבודה: חדו״א (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה י"ב · 5 יח"ל · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ ?
f(x) = \frac{x^2}{x-1}
(א) $\frac{x ^{2} + 2 x}{( x - 1 ) ^{2}}$
(ב) $\frac{2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}$
(ג) $\frac{2 x}{x - 1}$
(ד) $\frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}}$
2.פרבולה $f (x) = x^{2}$ חותכת את $g (x) = x$ בנקודות $x = 0$ ו- $x = 1$ . מהו השטח הכלוא ביניהן?
f(x) = x^{2}g(x) = x
(א) $\frac{1}{3}$
(ב) $\frac{5}{6}$
(ג) $\frac{1}{6}$
(ד) $\frac{1}{2}$
3.בפונקציה $f (x) = x^{3} - 3 x$ , איזה סוג קיצון יש ב- $x = 1$ ?
f(x) = x^3-3x
(א)אין קיצון
(ב)מינימום
(ג)מקסימום
(ד)פיתול
4.חשבו $\int_{- 1}^{1} x^{2} d x$ .
(א) $2$
(ב) $0$
(ג) $\frac{1}{3}$
(ד) $\frac{2}{3}$
5.מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון של $f (x) = ln x - x$ (עבור $x > 0$ ).
(א) $x = - 1$
(ב) $x = e$
(ג) $x = 1$
(ד) $x = 0$
6.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} ln x$ ?
(א) $x + \frac{1}{x}$
(ב) $2 x ln x + x^{2}$
(ג) $2 x ln x$
(ד) $2 x ln x + x$
7.היכן הפונקציה $f (x) = x^{4}$ קעורה כלפי מעלה?
f(x) = x^4
(א)בשום מקום
(ב) $x > 0$
(ג)לכל $x \neq = 0$
(ד) $x < 0$
8.מהי האסימפטוטה האנכית של $f (x) = ln (x - 1)$ ?
f(x) = \ln(x-1)
(א) $x = 1$
(ב) $y = 1$
(ג) $x = 0$
(ד) $y = 0$
9.הפרבולה $f (x) = 4 - x^{2}$ חותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $x = - 2$ ו- $x = 2$ . מהו השטח הכלוא בינה לציר?
f(x) = 4-x^{2}
(א) $\frac{32}{3}$
(ב) $16$
(ג) $\frac{8}{3}$
(ד) $\frac{16}{3}$
10.חשבו $\int_{0}^{4} x d x$ (כאשר $x = x^{1/2}$ ).
(א) $\frac{16}{3}$
(ב) $\frac{8}{3}$
(ג) $\frac{32}{3}$
(ד) $8$
11.חברה מוכרת מוצר ברווח $R (x) = - 2 x^{2} + 40 x - 50$ (ב- $x$ יחידות). כמה יחידות ממקסמות את הרווח?
(א) $40$
(ב) $5$
(ג) $10$
(ד) $20$
12.מהו השטח הכלוא בין $f (x) = x^{2}$ ל- $g (x) = x$ בתחום $0 \leq x \leq 1$ ?
(א) $\frac{1}{4}$
(ב) $\frac{1}{3}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{1}{6}$
13.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ ?
f(x) = \frac{e^x}{x}
(א) $\frac{e ^{x}}{x}$
(ב) $\frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$
(ג) $\frac{e ^{x}}{x ^{2}}$
(ד) $\frac{e ^{x} ( x + 1 )}{x ^{2}}$
14.מהי הנגזרת השנייה של $f (x) = ln x$ ?
(א) $\frac{1}{x}$
(ב) $\frac{1}{x ^{2}}$
(ג) $- \frac{1}{x ^{2}}$
(ד) $- \frac{1}{x}$
15.חשבו $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x$ .
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $2$
(ג) $\frac{1}{4}$
(ד) $0$

מפתח תשובות

$\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
$\dfrac{1}{6}$ — בתחום $[0,1]$ מתקיים $x \ge x^{2}$, ולכן השטח הוא $\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$.
מינימום — $f''(1)=6\cdot 1=6>0$, ולכן מינימום.
$\dfrac{2}{3}$ — $\int x^{2}dx=\dfrac{x^{3}}{3}$. הצבה: $\dfrac{1}{3}-\dfrac{-1}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
$x=1$ — $f'(x)=\frac{1}{x}-1=0\Rightarrow \frac{1}{x}=1\Rightarrow x=1$.
$2x\ln x+x$ — כלל המכפלה: $f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x+x$.
לכל $x\neq 0$ — $f''(x)=12x^2\geq 0$, וחיובי ממש לכל $x\neq 0$, ולכן קעורה כלפי מעלה שם.
$x=1$ — $\ln(x-1)$ מוגדר ל-$x>1$ ושואף ל-$-\infty$ כאשר $x\to 1^+$, ולכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.
$\dfrac{32}{3}$ — $\int_{-2}^{2}(4-x^{2})dx=\left[4x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$.
$\frac{16}{3}$ — $\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}$. הצבה: $\frac{2}{3}\cdot 8-0=\frac{16}{3}$ (כי $4^{3/2}=8$).
$10$ — $R'(x)=-4x+40=0\Rightarrow x=10$. $R''=-4<0$ — מקסימום.
$\frac{1}{6}$ — בתחום זה $x\geq x^2$, ולכן השטח $=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.
$\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ — $\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$.
$-\frac{1}{x^2}$ — $f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, $f''(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
$0$ — $\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$. הצבה: $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ (פונקציה אי-זוגית בקטע סימטרי).