דף עבודה: חדו״א

מפתח תשובות

1. $3e^{3x}$ — כלל השרשרת: $e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
2. $\frac{1}{5}e^{5x} + c$ — $\int e^{5x}dx=\frac{1}{5}e^{5x}+c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
3. $2e^{2x}$ — לפי כלל השרשרת, $(e^{2x})'=e^{2x}\cdot(2x)'=2e^{2x}$. זכרו את הכללים הבסיסיים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
4. $f'(x)=0$ — בנקודת קיצון פנימית של פונקציה גזירה, הנגזרת הראשונה מתאפסת: $f'(x)=0$.
5. $1$ — $f'(x)=e^x$, ובנקודה $x=0$: $f'(0)=e^0=1$.
6. $x^{4}-3x^{2}+C$ — $\int 4x^{3}dx=x^{4}$ ו-$\int 6x\,dx=3x^{2}$, ולכן התוצאה $x^{4}-3x^{2}+C$.
7. $\frac{5}{2}e^{2x} + c$ — $\int 5e^{2x}dx=5\cdot\frac{1}{2}e^{2x}+c=\frac{5}{2}e^{2x}+c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
8. $5e^x$ — קבוע נשמר בגזירה: $f'(x)=5e^x$.
9. $\frac{1}{3}e^{3x} + c$ — $\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}+c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
10. $e^x(x+1)$ — לפי כלל המכפלה, $(xe^x)'=1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x(x+1)$. זכרו את הכללים הבסיסיים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
11. $x^4 + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$. מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים בחזקה החדשה. התוצאה: $x^4 + c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
12. $8$ — $\int_1^3 2x\,dx=[x^2]_1^3=9-1=8$.
13. $0$ — $\ln1=0$ כי $e^0=1$. הכירו תכונות $e^x$ ו-$\ln x$.
14. $6(2x+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(2x+1)^2\cdot 2=6(2x+1)^2$.
15. $9$ — השטח הוא $\int_{0}^{3} x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\dfrac{27}{3}-0=9$.