דף עבודה: פונקציות (רמה בינוני)

מפתח תשובות

1. $-i$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\bar{i}=-i$: $\dfrac{1}{i}=\dfrac{1 \cdot(-i)}{i \cdot(-i)}=\dfrac{-i}{-i^{2}}=\dfrac{-i}{1}=-i$.
2. $7$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{7^2+0^2}=\sqrt{49+0}=\sqrt{49}=7$.
3. $x=\pm 5i$ — $x^{2}=-25$, ולכן $x=\pm 5i$.
4. $13$ — נפתח סוגריים: $(2 - 3i)(2 + 3i) = 2\cdot2 + 2\cdot(3)i + -3i\cdot2 + -3i\cdot3i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -9i^2 = 9$. החלק הממשי: $4 + 9 = 13$, החלק המדומה: $0i$. התוצאה: $13$.
5. $41$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41$.
6. $2 + 10i$ — נפתח סוגריים: $(3 + 2i)(2 + 2i) = 3\cdot2 + 3\cdot(2)i + 2i\cdot2 + 2i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 4i^2 = -4$. החלק הממשי: $6 - 4 = 2$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $2 + 10i$.
7. $x=3$ — כיוון שהבסיסים שווים, משווים מעריכים: $2x=6$, ולכן $x=3$.
8. $3e^{3x}$ — לפי כלל השרשרת: $(e^{ax})'=a \cdot e^{ax}$, ולכן $(e^{3x})'=3e^{3x}$.
9. $(1,0)$ — מחפשים $\ln x=0$, כלומר $x=1$ (כי $e^{0}=1$). נקודת החיתוך היא $(1,0)$.
10. $25$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$.
11. $y=0$ — כאשר $x \to -\infty$, $e^{x} \to 0$, ולכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$ (ציר ה-$x$).
12. $x=\pm i$ — $x^{2}=-1$, ולכן $x=\pm\sqrt{-1}=\pm i$.
13. $5+i$ — פותחים סוגריים: $2 \cdot 1+2 \cdot(-i)+3i \cdot 1+3i \cdot(-i)=2-2i+3i-3i^{2}$. כיוון ש-$i^{2}=-1$ מקבלים $2-2i+3i+3=5+i$.
14. $y>0$ — $e^{x}$ תמיד חיובי ממש ואינו מגיע ל-$0$, ולכן הטווח הוא $y>0$.
15. $10e^{2x}$ — $(5e^{2x})'=5 \cdot 2e^{2x}=10e^{2x}$.