דף עבודה: פונקציות

מפתח תשובות

1. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 8 בחלוקה ב-4: $8 = 4 \cdot 2 + 0$, ולכן $i^{8} = i^{0} = $ $1$.
2. $-2-2i$ — $(2-4)+(-3-(-1))i=-2+(-3+1)i=-2-2i$.
3. $-e^{-x}+C$ — $\int e^{ax}dx=\dfrac{1}{a}e^{ax}+C$ עם $a=-1$, ולכן $\dfrac{1}{-1}e^{-x}+C=-e^{-x}+C$.
4. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 18 בחלוקה ב-4 היא 2, ולכן $i^{18}=i^{2}=$$-1$.
5. $10 + i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $10 + i$.
6. $15$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
7. $\dfrac{1}{4}e^{4x}+C$ — $\int e^{ax}dx=\dfrac{1}{a}e^{ax}+C$ עם $a=4$, ולכן $\dfrac{1}{4}e^{4x}+C$.
8. $5 + i$ — נפתח סוגריים: $(2 + 3i)(1 - i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-1)i + 3i\cdot1 + 3i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -3i^2 = 3$. החלק הממשי: $2 + 3 = 5$, החלק המדומה: $1i$. התוצאה: $5 + i$.
9. $-2i$ — נפתח סוגריים: $(1 - i)(1 - i) = 1\cdot1 + 1\cdot(-1)i + -1i\cdot1 + -1i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $1 - 1 = 0$, החלק המדומה: $-2i$. התוצאה: $-2i$.
10. $-2+5i$ — הצמוד מחליף את סימן החלק המדומה בלבד: $-2-5i \to -2+5i$.
11. $6 - i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=6$, $b=1$, ולכן הצמוד הוא $6 - i$.
12. $x=e^{2}$ — מהגדרת הלוגריתם: $\ln x=2 \Leftrightarrow x=e^{2}$.
13. $-e^{-x}$ — $(e^{ax})'=ae^{ax}$ עם $a=-1$, ולכן $(e^{-x})'=-e^{-x}$.
14. $5$ — נפתח סוגריים: $(2 + i)(2 - i) = 2\cdot2 + 2\cdot(-1)i + 1i\cdot2 + 1i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -1i^2 = 1$. החלק הממשי: $4 + 1 = 5$, החלק המדומה: $0i$. התוצאה: $5$.
15. $13$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.