חזקות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $6$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 64=6$ כי הבסיס בחזקת 6 נותן את המספר.
2. $\frac{4}{3}$ — $\log_8 16=\frac{\log_2 16}{\log_2 8}=\frac{4}{3}$.
3. $x^5$ — חוק מנת חזקות: $\frac{x^7}{x^2}=x^{7-2}=x^5$.
4. $x=0\ \text{or}\ x=2$ — נסמן $t=2^x$: $t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1,4$, ולכן $2^x=1\Rightarrow x=0$ או $2^x=4\Rightarrow x=2$.
5. $4$ — $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$.
6. $2$ — $3^{2}=9$, ולכן $\log_{3} 9=2$.
7. $6$ — $5^{6}=15625$, ולכן $\log_{5} 15625=6$.
8. $x=0$ — $e^0=1$, ולכן $x=0$. הלוגריתם הטבעי של 1 הוא $\ln 1=0$, ולכן $x=\ln 1=0$.
9. $1$ — $\ln e=\log_e e=1$.
10. $x=\frac{3}{2}$ — $3^{2x}=3^3\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac32$.
11. $x=4$ — $\log_2 x(x-2)=3\Rightarrow x^2-2x=8\Rightarrow x=4$ (הפתרון $x=-2$ נפסל).
12. $8$ — $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$.
13. $5$ — $\ln e^5=5\ln e=5$.
14. $-3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 \frac{1}{8}=-3$ כי הבסיס בחזקת -3 נותן את המספר.
15. $4$ — $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$.
16. $1$ — $2^{1}=2$, ולכן $\log_{2} 2=1$.
17. $3$ — $5^{3}=125$, ולכן $\log_{5} 125=3$.
18. $7$ — $e^{\ln x}=x$, ולכן $e^{\ln 7}=7$.
19. $\log_a \frac{x^3}{y}$ — $3\log_a x-\log_a y=\log_a x^3-\log_a y=\log_a\frac{x^3}{y}$.
20. $x^7$ — חוק מכפלת חזקות: $x^3\cdot x^4=x^{3+4}=x^7$.