אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
2. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
3. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
4. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
5. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
6. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
7. 32% — כמות החומר $= 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$ ליטר. נפח כולל $= 5$ ליטר. ריכוז $= 1.\frac{6}{5} = 0.32 = 32%$.
8. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
9. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
10. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
11. 8 — $40000\cdot1.02^7=40000\cdot1.148686\approx45{,}947.4$ ₪ — עדיין פחות מ-$46{,}000$. $40000\cdot1.02^8=40000\cdot1.171659\approx46{,}866.4$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=8$.
12. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
13. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
14. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
15. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
16. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
17. 12 — נסמן הבן x, האבא 3x. אז $x + 3x = 48 → 4x = 48 → x = 12$.
18. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
19. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
20. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
21. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
22. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
23. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
24. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
25. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
26. ירידה של 5% בשנה (q=0.95) — $q^2=\dfrac{180{,}500}{200{,}000}=0.9025$, ולכן $q=\sqrt{0.9025}=0.95$ — ירידה שנתית של $5\%$. הטעות $9.75\%$ מתקבלת מהתייחסות לשינוי הכולל של שתי השנים כאילו הוא שינוי של שנה אחת.
27. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
28. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
29. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
30. $15$ ו-$5$ — נסמן את המספרים $x$ ו-$y$ כך ש-$x > y$. מהתנאים: $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. נציב את השנייה בראשונה: $3y + y = 20 \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5$. לכן $x = 3 \cdot 5 = 15$. אכן $15 + 5 = 20$ ו-$15 = 3 \cdot 5$.
31. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
32. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
33. 100,000 ₪ — גורם השינוי הכולל הוא $0.95^2\cdot1.02=0.9025\cdot1.02=0.92055$. לכן $M_0\cdot0.92055=92055$, ומכאן $M_0=92055/0.92055=100{,}000$ ₪.
34. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 4 + (2) \cdot 4 = 16$, וכן $3 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 8$.
35. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.