אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
2. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
3. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
4. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
5. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
6. 27,040 ₪ — המודל: $M=M_0\cdot q^t$ כאשר $q=1.04$. לכן $M=25{,}000\cdot 1.04^2=25{,}000\cdot 1.0816=27{,}040$ ₪. הטעות ב-27,000 היא חישוב ריבית פשוטה ($25{,}000+25{,}000\cdot0.04\cdot2$) במקום דריבית.
7. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
8. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
9. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
10. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
11. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
12. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
13. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
14. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
15. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
16. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
17. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
18. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
19. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
20. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
21. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
22. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
23. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
24. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
25. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
26. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
27. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
28. כן, יהיה בקופה כ-67,005 ₪, יותר מהמחיר הדרוש — לפי נוסחת הריבית דריבית: $50000\cdot1.05^6=50000\cdot1.340096\approx67{,}004.8$ ₪. סכום זה גדול מ-$65{,}000$ ₪, ולכן הסכום יספיק, ואף יישאר עודף של כ-$2{,}005$ ₪.
29. 8 ו-4 — נסמן $x+y=12, x-y=4$. נחבר את המשוואות: $2x = 16, x = 8$, ואז $y = 4$.
30. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
31. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
32. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
33. 20 — נסמן רון x, דן x+5. אז $x + (x+5) = 35 → 2x = 30 → x = 15$, ודן $x+5 = 20$.
34. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
35. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.