אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
2. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
3. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
4. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
5. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
6. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
7. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
8. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
9. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
10. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
11. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
12. 18 — בנים $= 40%$ מ-$30 = 12$. בנות $= 30 - 12 = 18. ($או 60% מ-$30 = 18.)$
13. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
14. 100,000 ₪ — גורם השינוי הכולל הוא $0.95^2\cdot1.02=0.9025\cdot1.02=0.92055$. לכן $M_0\cdot0.92055=92055$, ומכאן $M_0=92055/0.92055=100{,}000$ ₪.
15. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
16. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
17. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
18. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
19. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
20. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
21. 7,220 — כאן $q=1-0.05=0.95$, ולכן $M=8{,}000\cdot 0.95^2=8{,}000\cdot 0.9025=7{,}220$. 7,200 מתקבל מחישוב ירידה ליניארית (פשוטה) במקום דריבית, ו-8,820 מתקבל מהצבת $q=1.05$ בטעות (כיוון הפוך).
22. לא, ההפרש גדל משנה לשנה — זו סדרה הנדסית ולא סדרה חשבונית — האחוז השנתי קבוע ($4\%$), אך הוא מחושב על בסיס גדל בכל שנה, ולכן ההפרש בש"ח בין שנה לשנה הולך וגדל. זו התנהגות של סדרה הנדסית (יחס קבוע בין איברים עוקבים), בניגוד לסדרה חשבונית שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע.
23. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
24. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
25. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
26. 101,568 ₪ — $q=1-0.08=0.92$, ולכן $M=120{,}000\cdot 0.92^2=120{,}000\cdot 0.8464=101{,}568$ ₪. 100,800 מתקבל מפחת ליניארי (פשוט), ו-139,968 מתקבל בטעות עם $q=1.08$ (כיוון הפוך).
27. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
28. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
29. $x = 5, y = 3$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 5, y = 3$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (2) \cdot 3 = 11$, וכן $2 \cdot 5 + (1) \cdot 3 = 13$.
30. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
31. $x = -2$ או $x = 5$ — $a=1, b=-3, c=-10$. דיסקרימיננטה $= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{3 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 5$.
32. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
33. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
34. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
35. 10% בשנה — אם שיעור הירידה השנתי הוא $r$, אז גורם השינוי השנתי הוא $q=1-r$, וגורם השינוי הכולל לאחר שנתיים הוא $q^2$. נתון $q^2=1-0.19=0.81$, ומכאן $q=0.9$, כלומר ירידה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $0.9^2=0.81$, שזה בדיוק ירידה כוללת של $19\%$.