אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 ימים — סך העבודה $= 3 \cdot 8 = 24$ ימי-פועל. עם 6 פועלים: $\frac{24}{6} = 4$ ימים. (יחס הפוך.)
2. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
3. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
4. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
5. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
6. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
7. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
8. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
9. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
10. $x = 3, y = 5$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 3, y = 5$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 5 = 11$, וכן $1 \cdot 3 + (2) \cdot 5 = 13$.
11. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
12. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
13. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
14. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.
15. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
16. 7 — צריך למצוא את $t$ הקטן ביותר עבורו $15000\cdot1.04^t\ge19000$. עבור $t=6$: $15000\cdot1.04^6=15000\cdot1.265319\approx18{,}979.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$19{,}000$. עבור $t=7$: $15000\cdot1.04^7=15000\cdot1.315932\approx19{,}738.98$ ₪ — עובר את היעד. לכן התשובה היא $t=7$.
17. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
18. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $4 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 14$, וכן $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$.
19. לא, ההפרש גדל משנה לשנה — זו סדרה הנדסית ולא סדרה חשבונית — האחוז השנתי קבוע ($4\%$), אך הוא מחושב על בסיס גדל בכל שנה, ולכן ההפרש בש"ח בין שנה לשנה הולך וגדל. זו התנהגות של סדרה הנדסית (יחס קבוע בין איברים עוקבים), בניגוד לסדרה חשבונית שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע.
20. 6 — $25000\cdot1.03^5=25000\cdot1.159274\approx28{,}981.9$ ₪ — עדיין פחות מ-$29{,}000$ (בהפרש קטן!). $25000\cdot1.03^6=25000\cdot1.194052\approx29{,}851.3$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=6$.
21. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
22. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
23. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
24. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
25. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
26. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
27. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
28. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
29. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
30. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
31. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
32. $(x + 3)^{2}$ — ריבוע שלם: $(x+3)^{2}$.
33. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
34. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
35. x < 4 — נחסר 5: x < 4.