אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
2. 10% בשנה — אם שיעור הירידה השנתי הוא $r$, אז גורם השינוי השנתי הוא $q=1-r$, וגורם השינוי הכולל לאחר שנתיים הוא $q^2$. נתון $q^2=1-0.19=0.81$, ומכאן $q=0.9$, כלומר ירידה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $0.9^2=0.81$, שזה בדיוק ירידה כוללת של $19\%$.
3. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
4. $x \le 5$ — כדי לבודד את $x$, מחלקים את שני אגפי אי-השוויון ב-$5$ (מספר חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשמר): $\frac{5x}{5} \le \frac{25}{5}$, ומקבלים $x \le 5$.
5. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
6. 20% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1-0.36=0.64$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=0.64$, ומכאן $q=0.8$, כלומר ירידה של $20\%$ בשנה. בדיקה: $0.8^2=0.64$, בדיוק ירידה כוללת של $36\%$.
7. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
8. 32% — כמות החומר $= 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$ ליטר. נפח כולל $= 5$ ליטר. ריכוז $= 1.\frac{6}{5} = 0.32 = 32%$.
9. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
10. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
11. 8 ש"ח — נסמן מחיר מחברת $m: 3m + 5 = 29 → 3m = 24 → m = 8$ ש"ח.
12. 7,220 — כאן $q=1-0.05=0.95$, ולכן $M=8{,}000\cdot 0.95^2=8{,}000\cdot 0.9025=7{,}220$. 7,200 מתקבל מחישוב ירידה ליניארית (פשוטה) במקום דריבית, ו-8,820 מתקבל מהצבת $q=1.05$ בטעות (כיוון הפוך).
13. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
14. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
15. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
16. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
17. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
18. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
19. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
20. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
21. 44,100 ₪ — $M=40{,}000\cdot 1.05^2=40{,}000\cdot 1.1025=44{,}100$ ₪. הערך 44,000 מתקבל מחישוב ריבית פשוטה, ו-36,100 מתקבל מהצבת $q=0.95$ בטעות (כיוון הפוך).
22. אף פתרון — $x^{2} = -4$, אך אין מספר ממשי שריבועו שלילי. דיסקרימיננטה $= 0 - 16 = -16 < 0$, לכן אין פתרון.
23. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
24. 5 — $8000\cdot1.1^4=8000\cdot1.4641\approx11{,}712.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$12{,}000$. $8000\cdot1.1^5=8000\cdot1.61051\approx12{,}884.1$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=5$.
25. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
26. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
27. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
28. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
29. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
30. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
31. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
32. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
33. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
34. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
35. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.