אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
2. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
3. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
4. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
5. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
6. $x = 5$ — נעביר את 5 לאגף ימין: $3x = 20 - 5 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
7. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
8. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
9. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
10. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
11. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
12. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
13. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
14. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
15. ירידה של 4% בשנה (q=0.96) — $q^2=\dfrac{138{,}240}{150{,}000}=0.9216$, ולכן $q=\sqrt{0.9216}=0.96$ — ירידה שנתית של $4\%$. הטעות $7.84\%$ מתקבלת מהתייחסות לירידה הכוללת של שתי השנים כאל ירידה שנתית ישירה.
16. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
17. עקומה עולה שקצב העלייה שלה (השיפוע) הולך וגדל ככל שהזמן מתקדם — מכיוון ש-$q=1.06>1$, הפונקציה עולה, וכיוון שהגידול הוא באחוז קבוע מבסיס גדל, קצב העלייה (התוספת בש"ח לכל שנה) הולך וגדל — הגרף הוא עקומה 'משתפלת כלפי מעלה' (קמורה), בניגוד לקו ישר שמאפיין גידול ליניארי בקצב קבוע.
18. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
19. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
20. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
21. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
22. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
23. עלייה של 3% בשנה (q=1.03) — $q^3=\dfrac{1{,}092{,}727}{1{,}000{,}000}=1.092727$, ולכן $q=\sqrt[3]{1.092727}=1.03$ — עלייה שנתית של $3\%$. הטעות $9.27\%$ מתקבלת כשמשווים את השינוי הכולל לתקופה של $3$ שנים לגידול של שנה אחת, במקום להוציא שורש מסדר $3$.
24. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
25. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
26. לא, ההפרש גדל משנה לשנה — זו סדרה הנדסית ולא סדרה חשבונית — האחוז השנתי קבוע ($4\%$), אך הוא מחושב על בסיס גדל בכל שנה, ולכן ההפרש בש"ח בין שנה לשנה הולך וגדל. זו התנהגות של סדרה הנדסית (יחס קבוע בין איברים עוקבים), בניגוד לסדרה חשבונית שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע.
27. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
28. (x - 3)(x - 4) — מכפלה 12 וסכום -7: -3 ו-4-.
29. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
30. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
31. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
32. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
33. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
34. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
35. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.