אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
2. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
3. $x = 12$ — מכנה משותף $4: 2\frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 3\frac{x}{4} = 9 → 3x = 36 → x = 12$.
4. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
5. $x = -4$ — נעביר את 9 לאגף ימין: $2x = 1 - 9 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
6. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
7. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
8. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
9. 7 — $12000\cdot1.06^6=12000\cdot1.418519\approx17{,}022.2$ ₪ — עדיין פחות מ-$18{,}000$. $12000\cdot1.06^7=12000\cdot1.503630\approx18{,}043.6$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=7$.
10. 71,461 ₪ — $M=60{,}000\cdot 1.06^3=60{,}000\cdot 1.191016\approx 71{,}461$ ₪. 70,800 הוא חישוב ריבית פשוטה, 67,416 מתקבל מהעלאה בחזקת $2$ בלבד, ו-49,835 מתקבל בטעות עם $q=0.94$.
11. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
12. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
13. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
14. ירידה של 7% בכל שנה ביחס לערך של השנה הקודמת — $q=1-r$ כאשר $r$ הוא אחוז הירידה. $q=0.93=1-0.07$, כלומר בכל שנה נשארים $93\%$ מהערך של השנה הקודמת — ירידה של $7\%$ ביחס לשנה שקדמה, ולא ביחס לערך ההתחלתי.
15. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
16. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
17. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
18. $x \ge 4$ — $2x \ge 8 → x \ge 4$.
19. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
20. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
21. חיסכון C גדול מחיסכון D בכ-544 ₪ — $C_8=6000\cdot1.1^8=6000\cdot2.143589\approx12{,}861.5$ ₪. $D_8=9000\cdot1.04^8=9000\cdot1.368569\approx12{,}317.1$ ₪. ההפרש: $12{,}861.5-12{,}317.1\approx544$ ₪, כך שחיסכון C גדול יותר, למרות שהתחיל עם סכום נמוך יותר, בזכות הריבית הגבוהה יותר.
22. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
23. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
24. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
25. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.
26. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
27. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
28. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
29. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
30. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
31. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
32. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
33. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
34. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).
35. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.