אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
2. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
3. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 4 + (2) \cdot 4 = 16$, וכן $3 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 8$.
4. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
5. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
6. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
7. $x = -2$ או $x = 5$ — $a=1, b=-3, c=-10$. דיסקרימיננטה $= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{3 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 5$.
8. 90 קמ"ש — מהירות $=$ מרחק $/$ זמן $= \frac{360}{4} = 90$ קמ"ש.
9. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
10. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
11. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
12. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
13. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
14. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
15. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
16. $x = 5$ — $2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5$.
17. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
18. 18 — בנים $= 40%$ מ-$30 = 12$. בנות $= 30 - 12 = 18. ($או 60% מ-$30 = 18.)$
19. 7 — צריך למצוא את $t$ הקטן ביותר עבורו $15000\cdot1.04^t\ge19000$. עבור $t=6$: $15000\cdot1.04^6=15000\cdot1.265319\approx18{,}979.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$19{,}000$. עבור $t=7$: $15000\cdot1.04^7=15000\cdot1.315932\approx19{,}738.98$ ₪ — עובר את היעד. לכן התשובה היא $t=7$.
20. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
21. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
22. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
23. 20 — נסמן רון x, דן x+5. אז $x + (x+5) = 35 → 2x = 30 → x = 15$, ודן $x+5 = 20$.
24. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
25. $15$ ו-$5$ — נסמן את המספרים $x$ ו-$y$ כך ש-$x > y$. מהתנאים: $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. נציב את השנייה בראשונה: $3y + y = 20 \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5$. לכן $x = 3 \cdot 5 = 15$. אכן $15 + 5 = 20$ ו-$15 = 3 \cdot 5$.
26. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
27. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
28. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
29. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
30. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
31. 7,220 — כאן $q=1-0.05=0.95$, ולכן $M=8{,}000\cdot 0.95^2=8{,}000\cdot 0.9025=7{,}220$. 7,200 מתקבל מחישוב ירידה ליניארית (פשוטה) במקום דריבית, ו-8,820 מתקבל מהצבת $q=1.05$ בטעות (כיוון הפוך).
32. 5 — $East_t=4000\cdot1.07^t$, $West_t=7000\cdot0.94^t$. עבור $t=4$: $East_4\approx5{,}243.2$, $West_4\approx5{,}465.2$ — עדיין $East<West$. עבור $t=5$: $East_5=4000\cdot1.402552\approx5{,}610.2$, $West_5=7000\cdot0.733904\approx5{,}137.3$ — כעת $East>West$. לכן התשובה היא $t=5$.
33. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
34. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
35. 101,568 ₪ — $q=1-0.08=0.92$, ולכן $M=120{,}000\cdot 0.92^2=120{,}000\cdot 0.8464=101{,}568$ ₪. 100,800 מתקבל מפחת ליניארי (פשוט), ו-139,968 מתקבל בטעות עם $q=1.08$ (כיוון הפוך).