אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
2. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
3. 44,100 ₪ — $M=40{,}000\cdot 1.05^2=40{,}000\cdot 1.1025=44{,}100$ ₪. הערך 44,000 מתקבל מחישוב ריבית פשוטה, ו-36,100 מתקבל מהצבת $q=0.95$ בטעות (כיוון הפוך).
4. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
5. 5 — $8000\cdot1.1^4=8000\cdot1.4641\approx11{,}712.8$ ₪ — עדיין פחות מ-$12{,}000$. $8000\cdot1.1^5=8000\cdot1.61051\approx12{,}884.1$ ₪ — עובר את היעד. לכן $t=5$.
6. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
7. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
8. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
9. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
10. 49,680 ₪ — אחרי הירידה: $50000\cdot0.92=46{,}000$ ₪. אחרי העלייה: $46000\cdot1.08=49{,}680$ ₪. שימו לב שהסכום הסופי נמוך מהסכום ההתחלתי, למרות שאחוז הירידה ואחוז העלייה זהים — משום שהעלייה מחושבת על בסיס קטן יותר (הגורם הכולל $0.92\cdot1.08=0.9936<1$).
11. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
12. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
13. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
14. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
15. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
16. $x = 4$ — נעביר את 7 לאגף ימין: $10x = 47 - 7 = 40$. נחלק ב-$10: x = \frac{40}{10} = 4$.
17. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
18. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
19. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
20. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
21. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
22. 27,040 ₪ — המודל: $M=M_0\cdot q^t$ כאשר $q=1.04$. לכן $M=25{,}000\cdot 1.04^2=25{,}000\cdot 1.0816=27{,}040$ ₪. הטעות ב-27,000 היא חישוב ריבית פשוטה ($25{,}000+25{,}000\cdot0.04\cdot2$) במקום דריבית.
23. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
24. $x = 5, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 9$, וכן $3 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 19$.
25. ירידה של 2% בשנה (q=0.98) — $q^2=\dfrac{38{,}416}{40{,}000}=0.9604$, ולכן $q=\sqrt{0.9604}=0.98$ — ירידה של $2\%$ בשנה. הטעות בתשובה $4\%$ נובעת מכפל האחוז הכולל בטעות במקום הוצאת שורש.
26. לא, ההפרש גדל משנה לשנה — זו סדרה הנדסית ולא סדרה חשבונית — האחוז השנתי קבוע ($4\%$), אך הוא מחושב על בסיס גדל בכל שנה, ולכן ההפרש בש"ח בין שנה לשנה הולך וגדל. זו התנהגות של סדרה הנדסית (יחס קבוע בין איברים עוקבים), בניגוד לסדרה חשבונית שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע.
27. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
28. $15$ ו-$5$ — נסמן את המספרים $x$ ו-$y$ כך ש-$x > y$. מהתנאים: $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. נציב את השנייה בראשונה: $3y + y = 20 \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5$. לכן $x = 3 \cdot 5 = 15$. אכן $15 + 5 = 20$ ו-$15 = 3 \cdot 5$.
29. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
30. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
31. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
32. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
33. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
34. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
35. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.