אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. ירידה של $25\%$ — $0.5 \times 1.5 = 0.75$, כלומר ירידה כוללת של $25\%$.
2. $3630$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 3000\cdot(1+0.1)^{2} = 3000\cdot1.21 = 3630$.
3. ב-$21\%$ — $1.1 \times 1.1 = 1.21$, כלומר עלייה כוללת של $21\%$.
4. $270$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 45 \cdot 6 = 270$ ק"מ.
5. $25\%$ — $\frac{18}{72} \cdot 100\% = 25\%$.
6. $x=-2$ — $2x = 0 - (4) = -4$, ולכן $x = \frac{-4}{2} = -2$.
7. $x=-5$ — $3x = -19 - (-4) = -15$, ולכן $x=\frac{-15}{3}=-5$.
8. $x=4$ — $6x = 28 - (4) = 24$, ולכן $x=\frac{24}{6}=4$.
9. $\\$25600$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 50000 \cdot (1-0.2)^{3} = 50000\cdot0.512 = 25600$.
10. $45$ — $90\%\cdot50=0.9\cdot50=45$.
11. $50\%$ — השינוי הוא $|90-60| = 30$ מתוך הבסיס $60$: $\frac{30}{60} \cdot 100\% = 50\%$.
12. בקודקוד $(9,1)$, כאשר $Z=37$ — מציבים בכל קודקוד: $(1,1)\to4+1=5$; $(1,8)\to4+8=12$; $(6,10)\to24+10=34$; $(9,1)\to36+1=37$. המקסימום, $37$, מתקבל בקודקוד $(9,1)$, למרות ש-$y$ שם קטן — כי המקדם של $x$ גדול משמעותית.
13. $60$ — $150\% \cdot 40 = \frac{150}{100} \cdot 40 = 60$.
14. $x=5$ — $6x = 25 - (-5) = 30$, ולכן $x=\frac{30}{6}=5$.
15. $x=5$ — $3x = 20 - (5) = 15$, ולכן $x=\frac{15}{3}=5$.
16. $6$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $6$ שעות.
17. $x=2$ — $2x = 10 - (6) = 4$, ולכן $x = \frac{4}{2} = 2$.
18. $\\$81000$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 100000 \cdot (1-0.1)^{2} = 100000\cdot0.81 = 81000$.
19. $17$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=51$, ולכן $x=17$.
20. $\\$3180$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 3000 + 3000\cdot0.03\cdot2 = 3180$.
21. $16$ — $5\% \cdot 320 = \frac{5}{100} \cdot 320 = 16$.
22. $Z=0.5x+0.8y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $0.5$ ₪ עבור כל אחת מ-$x$ הלחמניות ועוד $0.8$ ₪ עבור כל אחד מ-$y$ הבורקסים. לכן $Z=0.5x+0.8y$.
23. $x=-2$ — $6x = -6 - (6) = -12$, ולכן $x = \frac{-12}{6} = -2$.
24. $x=-4$ — $7x = -30 - (-2) = -28$, ולכן $x=\frac{-28}{7}=-4$.
25. $x=2$ — $4x = 8 - (0) = 8$, ולכן $x=\frac{8}{4}=2$.
26. $x=1$ — $5x = 2 - (-3) = 5$, ולכן $x=\frac{5}{5}=1$.
27. $(6,\ 3.5)$ — מהמשוואה השנייה: $x=13-2y$. הצבה במשוואה הראשונה: $7(13-2y)+4y=56$, כלומר $91-14y+4y=56$, ולכן $-10y=-35$, כלומר $y=3.5$. לכן $x=13-7=6$. הנקודה היא $(6,\ 3.5)$.
28. $Z=60x+45y$ — הרווח הכולל מתקבל מסכום הרווחים משני סוגי הארגזים: $60x$ מהעגבניות ו-$45y$ מהמלפפונים. שימו לב שהאופציה $105(x+y)$ שגויה — היא מתאימה רק אם $x=y$, ולא באופן כללי.
29. $x=-3$ — $2x = -9 - (-3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{2}=-3$.
30. $\\$1620$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 1500 + 1500\cdot0.08\cdot1 = 1620$.
31. בקודקוד $(5,8)$, כאשר $Z=44$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,1)\to3$; $(0,6)\to18$; $(5,8)\to20+24=44$; $(9,0)\to36$. המקסימום, $44$, מתקבל בקודקוד $(5,8)$ — למרות שהקודקוד $(9,0)$ בעל $x$ הגדול ביותר, הוא אינו נותן את התוצאה הטובה ביותר.
32. $x=-3$ — $3x = -11 - (-2) = -9$, ולכן $x=\frac{-9}{3}=-3$.
33. בקודקוד $(6,8)$, כאשר $Z=50$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,0)\to6$; $(2,5)\to6+20=26$; $(6,8)\to18+32=50$; $(9,0)\to27$. המקסימום, $50$, מתקבל בקודקוד $(6,8)$.
34. $(4,3)$ — הצבת $x=4$ במשוואה הראשונה: $3\cdot4+2y=18$, כלומר $12+2y=18$, ולכן $2y=6$ ו-$y=3$. הנקודה היא $(4,3)$.
35. $120\%$ — $\frac{54}{45} \cdot 100\% = 120\%$.