אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $150$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 100 \cdot 1.5 = 150$ ק"מ.
2. $\\$1259.71$ — $K(1+p)^n = 1000 \cdot (1+0.08)^{3} = 1000 \cdot 1.259712 \approx 1259.71$.
3. $(6,4)$ — מהמשוואה השנייה: $y=28-4x$. הצבה במשוואה הראשונה: $2x+3(28-4x)=24$, כלומר $2x+84-12x=24$, ולכן $-10x=-60$, כלומר $x=6$. לכן $y=28-24=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
4. $20$ — $25\% \cdot 80 = \frac{25}{100} \cdot 80 = 20$.
5. $2205$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 2000\cdot(1+0.05)^{2} = 2000\cdot1.1025 = 2205$.
6. בקודקוד $(2,3)$, כאשר $Z=12$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,3)\to3\cdot2+2\cdot3=6+6=12$; $(2,9)\to6+18=24$; $(7,6)\to21+12=33$; $(10,2)\to30+4=34$. העלות המינימלית, $12$, מתקבלת בקודקוד $(2,3)$.
7. $200$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 50 \cdot 4 = 200$ ק"מ.
8. $Z=3x+4.5y$ — העלות הכוללת היא סכום עלויות הייצור של שני הסוגים: $3$ ₪ עבור כל אחת מ-$x$ שקיות מסוג א' ועוד $4.5$ ₪ עבור כל אחת מ-$y$ שקיות מסוג ב'. לכן $Z=3x+4.5y$.
9. $x=-5$ — $3x = -19 - (-4) = -15$, ולכן $x=\frac{-15}{3}=-5$.
10. $x=-3$ — $6x = -17 - (1) = -18$, ולכן $x=\frac{-18}{6}=-3$.
11. $(3,5)$ — עבור $(3,5)$: $x+y=8\le10$ ו-$2x+y=11\le16$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(6,5)$: $x+y=11>10$. עבור $(8,2)$: $2x+y=18>16$. עבור $(-1,5)$: $x<0$ אינו מקיים $x\ge0$.
12. $x=1$ — $5x = 12 - (7) = 5$, ולכן $x = \frac{5}{5} = 1$.
13. $20x+15y \le 900$ וגם $30x+20y \le 960$ — עלות: $20$₪ לשוקולד ו-$15$₪ לוניל, לא יותר מ-$900$₪: $20x+15y\le900$. זמן: $30$ דק' לשוקולד ו-$20$ דק' לוניל, לא יותר מ-$960$ דק': $30x+20y\le960$.
14. $150$ — פגומים: $0.4 \cdot 250 = 100$. תקינים: $250 - 100 = 150$.
15. $25\%$ — $\frac{33}{132} \cdot 100\% = 25\%$.
16. $4x+9y \ge 180$, $300x+500y \le 12000$ וגם $y \le x$ — כמות מזערית להובלה: $4x+9y\ge180$. תקציב: $300x+500y\le12000$. יחס משאיות: $y\le x$ (גדולות לא יותר מקטנות).
17. $30$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=90$, ולכן $x=30$.
18. $25\%$ — $\frac{30}{120} \cdot 100\% = 25\%$.
19. $\\$81000$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 100000 \cdot (1-0.1)^{2} = 100000\cdot0.81 = 81000$.
20. בקודקוד $(6,5)$, כאשר $Z=32$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to Z=0$; $(0,7)\to Z=28$; $(6,5)\to Z=2\cdot6+4\cdot5=12+20=32$; $(9,0)\to Z=18$. הערך הגדול ביותר, $32$, מתקבל בקודקוד $(6,5)$.
21. $\\$1996.5$ — $K(1+p)^n = 1500 \cdot (1+0.1)^{3} = 1500 \cdot 1.331 = 1996.5$.
22. הפתרון האופטימלי מתקבל תמיד באחד מקודקודי תחום הפתרונות האפשרי — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שכאשר פונקציית המטרה ליניארית והתחום קמור וחסום, הערך המקסימלי (או המינימלי) מתקבל תמיד באחד מקודקודי התחום — לא בפנים התחום ולא בהכרח באמצעו. תחום הפתרונות האפשרי נקבע על ידי האילוצים בלבד, ואינו תלוי במקדמי פונקציית המטרה.
23. $x=3$ — $4x = 10 - (-2) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{4}=3$.
24. $16$ — $5\% \cdot 320 = \frac{5}{100} \cdot 320 = 16$.
25. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
26. $x=-2$ — $2x = 0 - (4) = -4$, ולכן $x = \frac{-4}{2} = -2$.
27. $x=-4$ — $2x = -9 - (-1) = -8$, ולכן $x=\frac{-8}{2}=-4$.
28. $\\$1250$ — $K(1+p)^n = 800 \cdot (1+0.25)^{2} = 800 \cdot 1.5625 = 1250$.
29. $x=1$ — $7x = 6 - (-1) = 7$, ולכן $x=\frac{7}{7}=1$.
30. ירידה של $25\%$ — $0.5 \times 1.5 = 0.75$, כלומר ירידה כוללת של $25\%$.
31. $\\$39366$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 60000 \cdot (1-0.1)^{4} = 60000\cdot0.6561 = 39366$.
32. $\\$4630.5$ — $K(1+p)^n = 4000 \cdot (1+0.05)^{3} = 4000 \cdot 1.157625 = 4630.5$.
33. $x=4$ — $6x = 28 - (4) = 24$, ולכן $x=\frac{24}{6}=4$.
34. $x=-3$ — $4x = -13 - (-1) = -12$, ולכן $x=\frac{-12}{4}=-3$.
35. $x=2$ — $5x = 11 - (1) = 10$, ולכן $x=\frac{10}{5}=2$.