אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $41$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=123$, ולכן $x=41$.
2. $(6,4)$ — עבור $(6,4)$: $2x+7y=40\le42$, $4x+y=28\le32$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(8,2)$: $4x+y=34>32$. עבור $(3,7)$: $2x+7y=55>42$. עבור $(0,10)$: $2x+7y=70>42$.
3. $x=-2$ — $2x = -3 - (1) = -4$, ולכן $x=\frac{-4}{2}=-2$.
4. $\\$81000$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 100000 \cdot (1-0.1)^{2} = 100000\cdot0.81 = 81000$.
5. $x=5,\ y=3$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=5,\ y=3$. הצבה: $2\cdot5+1\cdot3=13=13$ וגם $1\cdot5+1\cdot3=8=8$.
6. $\\$1996.5$ — $K(1+p)^n = 1500 \cdot (1+0.1)^{3} = 1500 \cdot 1.331 = 1996.5$.
7. $150$ — פגומים: $0.4 \cdot 250 = 100$. תקינים: $250 - 100 = 150$.
8. $11$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=33$, ולכן $x=11$.
9. $20$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=60$, ולכן $x=20$.
10. לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
11. הפתרון האופטימלי מתקבל תמיד באחד מקודקודי תחום הפתרונות האפשרי — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שכאשר פונקציית המטרה ליניארית והתחום קמור וחסום, הערך המקסימלי (או המינימלי) מתקבל תמיד באחד מקודקודי התחום — לא בפנים התחום ולא בהכרח באמצעו. תחום הפתרונות האפשרי נקבע על ידי האילוצים בלבד, ואינו תלוי במקדמי פונקציית המטרה.
12. $30\%$ — כמות החומר: $10\cdot0.2+10\cdot0.4=6$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{6}{20}\cdot100\%=30\%$.
13. $2x+5y \le 100$ וגם $x+3y \le 45$ — עץ: כל כיסא צורך $2$ ק"ג, כל שולחן $5$ ק"ג, סה"כ עד $100$ ק"ג: $2x+5y \le 100$. עבודה: כל כיסא צורך שעה אחת, כל שולחן $3$ שעות, סה"כ עד $45$ שעות: $x+3y \le 45$.
14. $x=-4$ — $7x = -30 - (-2) = -28$, ולכן $x=\frac{-28}{7}=-4$.
15. $270$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 45 \cdot 6 = 270$ ק"מ.
16. $x=1$ — $7x = 13 - (6) = 7$, ולכן $x=\frac{7}{7}=1$.
17. $x=-3$ — $7x = -19 - (2) = -21$, ולכן $x=\frac{-21}{7}=-3$.
18. $\\$39366$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 60000 \cdot (1-0.1)^{4} = 60000\cdot0.6561 = 39366$.
19. $25x+10y \le 2000$ וגם $y \le 3x$ — תקציב: $25x+10y\le2000$. היחס: מספר הקטנות ($y$) לא יעלה על פי $3$ מהגדולות ($x$), כלומר $y\le3x$.
20. $45$ — $90\%\cdot50=0.9\cdot50=45$.
21. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
22. $x=4,\ y=3$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=4,\ y=3$. הצבה: $3\cdot4+2\cdot3=18=18$ וגם $1\cdot4+1\cdot3=7=7$.
23. $x=3$ — $4x = 10 - (-2) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{4}=3$.
24. $x=1$ — $6x = 4 - (-2) = 6$, ולכן $x=\frac{6}{6}=1$.
25. $x=4$ — $3x = 13 - (1) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{3}=4$.
26. $4$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{20}+\frac{1}{5}=\frac{1}{4}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $4$ שעות.
27. $6$ — $12\% \cdot 50 = \frac{12}{100} \cdot 50 = 6$.
28. 12 ₪ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to20$; $(4,6)\to12+24=36$; $(8,0)\to24$. הרווח המקסימלי הוא $36$ ₪ בקודקוד $(4,6)$, ואילו הרווח שהתקבל בפועל בקודקוד $(8,0)$ הוא $24$ ₪. ההפרש הוא $36-24=12$ ₪.
29. $x=3$ — $7x = 22 - (1) = 21$, ולכן $x=\frac{21}{7}=3$.
30. $x=-1$ — $7x = -3 - (4) = -7$, ולכן $x=\frac{-7}{7}=-1$.
31. $x=-5$ — $4x = -23 - (-3) = -20$, ולכן $x=\frac{-20}{4}=-5$.
32. $40\%$ — $\frac{24}{60} \cdot 100\% = 40\%$.
33. $Z=7x+5y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $7$ ₪ כפול מספר הגביעים ($x$) ועוד $5$ ₪ כפול מספר הקונוסים ($y$). לכן $Z=7x+5y$.
34. $\\$200$ — $234 = 1.17 \cdot x$, ולכן $x = \frac{234}{1.17} = 200$.
35. $150$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 100 \cdot 1.5 = 150$ ק"מ.