אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $Z=200x+350y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים מכל סוג טיול: $200$ ₪ כפול מספר טיולי המיניבוס ($x$) ועוד $350$ ₪ כפול מספר טיולי האוטובוס ($y$). לכן $Z=200x+350y$.
2. בקודקוד $(6,2)$ מתקבל כעת $Z=20$, גדול מ-$Z=14$ בקודקוד $(3,5)$ — הקודקוד העדיף התחלף — מציבים בפונקציה החדשה $Z=3x+y$: בקודקוד $(3,5)$: $3\cdot3+5=9+5=14$. בקודקוד $(6,2)$: $3\cdot6+2=18+2=20$. לפני השינוי $(3,5)$ היה עדיף ($29>26$), אך לאחר הקטנת משקל $y$, $(6,2)$ הפך לעדיף ($20>14$) — כי לקודקוד $(3,5)$ יש $y$ גדול שכבר לא נהנה ממקדם גבוה.
3. $\\$100$ — $80 = 0.8 \cdot x$, ולכן $x = \frac{80}{0.8} = 100$.
4. $x=1$ — $7x = 6 - (-1) = 7$, ולכן $x=\frac{7}{7}=1$.
5. $2x+5y \le 100$ וגם $x+3y \le 45$ — עץ: כל כיסא צורך $2$ ק"ג, כל שולחן $5$ ק"ג, סה"כ עד $100$ ק"ג: $2x+5y \le 100$. עבודה: כל כיסא צורך שעה אחת, כל שולחן $3$ שעות, סה"כ עד $45$ שעות: $x+3y \le 45$.
6. $x=1$ — $5x = 2 - (-3) = 5$, ולכן $x=\frac{5}{5}=1$.
7. $x=4$ — $3x = 15 - (3) = 12$, ולכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
8. $8x+12y \le 480$, $x+y \le 50$ וגם $y \ge 5$ — משקל: $8x+12y\le480$. מקום: $x+y\le50$. דרישה מזערית לספרים: $y\ge5$. שלושת האילוצים יחד מתארים את המצב.
9. $x=-1$ — $3x = 2 - (5) = -3$, ולכן $x = \frac{-3}{3} = -1$.
10. $x=-1$ — $6x = -3 - (3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{6}=-1$.
11. 12 ₪ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to20$; $(4,6)\to12+24=36$; $(8,0)\to24$. הרווח המקסימלי הוא $36$ ₪ בקודקוד $(4,6)$, ואילו הרווח שהתקבל בפועל בקודקוד $(8,0)$ הוא $24$ ₪. ההפרש הוא $36-24=12$ ₪.
12. $x=-2$ — $2x = -3 - (1) = -4$, ולכן $x=\frac{-4}{2}=-2$.
13. $20x+15y \le 900$ וגם $30x+20y \le 960$ — עלות: $20$₪ לשוקולד ו-$15$₪ לוניל, לא יותר מ-$900$₪: $20x+15y\le900$. זמן: $30$ דק' לשוקולד ו-$20$ דק' לוניל, לא יותר מ-$960$ דק': $30x+20y\le960$.
14. $x=-3$ — $5x = -10 - (5) = -15$, ולכן $x = \frac{-15}{5} = -3$.
15. בקודקוד $(2,3)$, כאשר $Z=12$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,3)\to3\cdot2+2\cdot3=6+6=12$; $(2,9)\to6+18=24$; $(7,6)\to21+12=33$; $(10,2)\to30+4=34$. העלות המינימלית, $12$, מתקבלת בקודקוד $(2,3)$.
16. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
17. 10 ₪ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,6)\to12$; $(5,7)\to5+14=19$; $(9,0)\to9$. הרווח המקסימלי האמיתי הוא $19$ ₪ בקודקוד $(5,7)$, ואילו בקודקוד $(9,0)$ שנבחר בטעות הרווח הוא רק $9$ ₪. ההפרש הוא $19-9=10$ ₪.
18. $Z=12x+9y$ — הרווח הכולל הוא סכום התרומות של שני סוגי ההזמנות: $12$ ₪ עבור כל הזמנת חתונה ($x$) ו-$9$ ₪ עבור כל הזמנת ברית ($y$). לכן $Z=12x+9y$.
19. $36$ — $40\%\cdot90=0.4\cdot90=36$.
20. $x=-1$ — $2x = 5 - (7) = -2$, ולכן $x = \frac{-2}{2} = -1$.
21. $x=-1$ — $7x = -3 - (4) = -7$, ולכן $x=\frac{-7}{7}=-1$.
22. $x=4,\ y=3$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=4,\ y=3$. הצבה: $3\cdot4+2\cdot3=18=18$ וגם $1\cdot4+1\cdot3=7=7$.
23. $\\$1250$ — $K(1+p)^n = 800 \cdot (1+0.25)^{2} = 800 \cdot 1.5625 = 1250$.
24. $Z=0.5x+0.8y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $0.5$ ₪ עבור כל אחת מ-$x$ הלחמניות ועוד $0.8$ ₪ עבור כל אחד מ-$y$ הבורקסים. לכן $Z=0.5x+0.8y$.
25. $10$ גרם — כל $5$ שנים כפול $\frac{1}{2}$. $15$ שנים הן $3$ מחזורים: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 80 \cdot \frac{1}{8} = 10$.
26. $x=3$ — $2x = 8 - (2) = 6$, ולכן $x = \frac{6}{2} = 3$.
27. $Z=7x+5y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $7$ ₪ כפול מספר הגביעים ($x$) ועוד $5$ ₪ כפול מספר הקונוסים ($y$). לכן $Z=7x+5y$.
28. בקודקוד $(5,8)$, כאשר $Z=44$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,1)\to3$; $(0,6)\to18$; $(5,8)\to20+24=44$; $(9,0)\to36$. המקסימום, $44$, מתקבל בקודקוד $(5,8)$ — למרות שהקודקוד $(9,0)$ בעל $x$ הגדול ביותר, הוא אינו נותן את התוצאה הטובה ביותר.
29. $(4,4)$ — עבור $(4,4)$: $3x+2y=20\le24$ ו-$x+2y=12\le16$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(6,4)$: $3x+2y=26>24$. עבור $(2,8)$: $x+2y=18>16$. עבור $(0,9)$: $x+2y=18>16$.
30. $3x+4y \le 120$ וגם $x+y \le 35$ — נפח: $3x+4y\le120$ (תפוחים תופסים $3$ ליטר לק"ג, תפוזים $4$ ליטר לק"ג). משקל: $x+y\le35$ (כל ק"ג נספר פעם אחת ללא הבדל סוג).
31. $45$ — $18\%\cdot250=0.18\cdot250=45$.
32. $45$ — $90\%\cdot50=0.9\cdot50=45$.
33. $x=-5$ — $7x = -41 - (-6) = -35$, ולכן $x=\frac{-35}{7}=-5$.
34. $\\$39366$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 60000 \cdot (1-0.1)^{4} = 60000\cdot0.6561 = 39366$.
35. $90$ — $45\% \cdot 200 = \frac{45}{100} \cdot 200 = 90$.