אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $40\%$ — כמות החומר: $5\cdot0.1+15\cdot0.5=8$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{8}{20}\cdot100\%=40\%$.
2. $x=-4$ — $3x = -12 - (0) = -12$, ולכן $x=\frac{-12}{3}=-4$.
3. $\\$6200$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 5000 + 5000\cdot0.06\cdot4 = 6200$.
4. $x=1$ — $7x = 6 - (-1) = 7$, ולכן $x=\frac{7}{7}=1$.
5. $\\$10$ — תפוחים: $4\cdot5=20$. נותרו $50-20=30$ עבור $3$ ק"ג אגסים: $\frac{30}{3}=10$.
6. $(6,3)$ — עבור $(6,3)$: $x+3y=15\le21$, $5x+2y=36\le40$, $y=3\le x+4=10$ - כל האילוצים מתקיימים. עבור $(2,7)$: $x+3y=23>21$. עבור $(7,5)$: $5x+2y=45>40$. עבור $(0,9)$: $y=9>x+4=4$.
7. $\\$1200$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 800 + 800\cdot0.1\cdot5 = 1200$.
8. $Z=200x+350y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים מכל סוג טיול: $200$ ₪ כפול מספר טיולי המיניבוס ($x$) ועוד $350$ ₪ כפול מספר טיולי האוטובוס ($y$). לכן $Z=200x+350y$.
9. $x=5$ — $5x = 27 - (2) = 25$, ולכן $x = \frac{25}{5} = 5$.
10. $48$ — $75\% \cdot 64 = \frac{75}{100} \cdot 64 = 48$.
11. $10\%$ — השינוי הוא $|81-90| = 9$ מתוך הבסיס $90$: $\frac{9}{90} \cdot 100\% = 10\%$.
12. $x=2$ — $6x = 8 - (-4) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{6}=2$.
13. $\\$25600$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 50000 \cdot (1-0.2)^{3} = 50000\cdot0.512 = 25600$.
14. ב-$21\%$ — $1.1 \times 1.1 = 1.21$, כלומר עלייה כוללת של $21\%$.
15. $x=6,\ y=4$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=6,\ y=4$. הצבה: $1\cdot6+1\cdot4=10=10$ וגם $1\cdot6+-1\cdot4=2=2$.
16. $x=-3$ — $3x = -11 - (-2) = -9$, ולכן $x=\frac{-9}{3}=-3$.
17. לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
18. $\\$57800$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 80000 \cdot (1-0.15)^{2} = 80000\cdot0.7225 = 57800$.
19. בקודקוד $(9,0)$, כאשר $Z=45$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,4)\to12$; $(5,6)\to5\cdot5+3\cdot6=25+18=43$; $(9,0)\to5\cdot9=45$. המקסימום, $45$, מתקבל בקודקוד $(9,0)$ — למרות ש-$(5,6)$ קרוב מאוד בערכו.
20. $x=-5$ — $5x = -20 - (5) = -25$, ולכן $x=\frac{-25}{5}=-5$.
21. 12 ₪ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to20$; $(4,6)\to12+24=36$; $(8,0)\to24$. הרווח המקסימלי הוא $36$ ₪ בקודקוד $(4,6)$, ואילו הרווח שהתקבל בפועל בקודקוד $(8,0)$ הוא $24$ ₪. ההפרש הוא $36-24=12$ ₪.
22. $x=5$ — $3x = 20 - (5) = 15$, ולכן $x=\frac{15}{3}=5$.
23. $x=3$ — $4x = 10 - (-2) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{4}=3$.
24. $x=4$ — $4x = 18 - (2) = 16$, ולכן $x=\frac{16}{4}=4$.
25. $2x+5y \le 100$ וגם $x+3y \le 45$ — עץ: כל כיסא צורך $2$ ק"ג, כל שולחן $5$ ק"ג, סה"כ עד $100$ ק"ג: $2x+5y \le 100$. עבודה: כל כיסא צורך שעה אחת, כל שולחן $3$ שעות, סה"כ עד $45$ שעות: $x+3y \le 45$.
26. $x=-3$ — $7x = -19 - (2) = -21$, ולכן $x=\frac{-21}{7}=-3$.
27. $x=4$ — $2x = 14 - (6) = 8$, ולכן $x=\frac{8}{2}=4$.
28. $x=-1$ — $7x = -3 - (4) = -7$, ולכן $x=\frac{-7}{7}=-1$.
29. $x=1$ — $2x = -4 - (-6) = 2$, ולכן $x=\frac{2}{2}=1$.
30. $x=-1$ — $6x = -3 - (3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{6}=-1$.
31. $x=3$ — $6x = 18 - (0) = 18$, ולכן $x=\frac{18}{6}=3$.
32. $34$ — $85\%\cdot40=0.85\cdot40=34$.
33. $16$ — $5\% \cdot 320 = \frac{5}{100} \cdot 320 = 16$.
34. $x=1$ — $4x = 6 - (2) = 4$, ולכן $x = \frac{4}{4} = 1$.
35. בקודקוד $(6,8)$, כאשר $Z=50$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,0)\to6$; $(2,5)\to6+20=26$; $(6,8)\to18+32=50$; $(9,0)\to27$. המקסימום, $50$, מתקבל בקודקוד $(6,8)$.