אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $30$ — $15\%\cdot200=0.15\cdot200=30$.
2. $(4,4)$ — עבור $(4,4)$: $3x+2y=20\le24$ ו-$x+2y=12\le16$ - שני האילוצים מתקיימים. עבור $(6,4)$: $3x+2y=26>24$. עבור $(2,8)$: $x+2y=18>16$. עבור $(0,9)$: $x+2y=18>16$.
3. $(6,4)$ — מהמשוואה השנייה: $y=28-4x$. הצבה במשוואה הראשונה: $2x+3(28-4x)=24$, כלומר $2x+84-12x=24$, ולכן $-10x=-60$, כלומר $x=6$. לכן $y=28-24=4$. הנקודה היא $(6,4)$.
4. $x=-3$ — $2x = -5 - (1) = -6$, ולכן $x = \frac{-6}{2} = -3$.
5. $x=-3$ — $2x = -9 - (-3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{2}=-3$.
6. $50\%$ — השינוי הוא $|90-60| = 30$ מתוך הבסיס $60$: $\frac{30}{60} \cdot 100\% = 50\%$.
7. 12 ₪ — מציבים בכל קודקוד: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to20$; $(4,6)\to12+24=36$; $(8,0)\to24$. הרווח המקסימלי הוא $36$ ₪ בקודקוד $(4,6)$, ואילו הרווח שהתקבל בפועל בקודקוד $(8,0)$ הוא $24$ ₪. ההפרש הוא $36-24=12$ ₪.
8. $25x+10y \le 2000$ וגם $y \le 3x$ — תקציב: $25x+10y\le2000$. היחס: מספר הקטנות ($y$) לא יעלה על פי $3$ מהגדולות ($x$), כלומר $y\le3x$.
9. $x=-1$ — $3x = 3 - (6) = -3$, ולכן $x=\frac{-3}{3}=-1$.
10. $\\$1250$ — $K(1+p)^n = 800 \cdot (1+0.25)^{2} = 800 \cdot 1.5625 = 1250$.
11. $20$ — $16\%\cdot125=0.16\cdot125=20$.
12. ב-$21\%$ — $1.1 \times 1.1 = 1.21$, כלומר עלייה כוללת של $21\%$.
13. $17$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=51$, ולכן $x=17$.
14. $20\%$ — השינוי הוא $|60-50| = 10$ מתוך הבסיס $50$: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = 20\%$.
15. $25\%$ — השינוי הוא $|60-80| = 20$ מתוך הבסיס $80$: $\frac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$.
16. $(4,6)$ — עבור $(4,6)$: $5x+3y=38\le45$, $x+y=10\le11$, $x=4\ge2$ - כל האילוצים מתקיימים. עבור $(1,8)$: $x=1<2$. עבור $(7,5)$: $5x+3y=50>45$. עבור $(4,8)$: $x+y=12>11$.
17. $Z=0.5x+0.8y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $0.5$ ₪ עבור כל אחת מ-$x$ הלחמניות ועוד $0.8$ ₪ עבור כל אחד מ-$y$ הבורקסים. לכן $Z=0.5x+0.8y$.
18. $60\%$ — השינוי הוא $|40-100| = 60$ מתוך הבסיס $100$: $\frac{60}{100} \cdot 100\% = 60\%$.
19. $41$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=123$, ולכן $x=41$.
20. $\\$10609$ — $K(1+p)^n = 10000 \cdot (1+0.03)^{2} = 10000 \cdot 1.0609 = 10609$.
21. $x=1$ — $6x = 4 - (-2) = 6$, ולכן $x=\frac{6}{6}=1$.
22. $\\$10$ — תפוחים: $4\cdot5=20$. נותרו $50-20=30$ עבור $3$ ק"ג אגסים: $\frac{30}{3}=10$.
23. $(10,4)$ — עבור $(10,4)$: $4x+5y=60\le60$, $x=10\le12$, $y=4\ge x-6=4$ - כל האילוצים מתקיימים (בגבול). עבור $(13,1)$: $x=13>12$. עבור $(10,2)$: $y=2<x-6=4$. עבור $(2,11)$: $4x+5y=63>60$.
24. $Z=60x+45y$ — הרווח הכולל מתקבל מסכום הרווחים משני סוגי הארגזים: $60x$ מהעגבניות ו-$45y$ מהמלפפונים. שימו לב שהאופציה $105(x+y)$ שגויה — היא מתאימה רק אם $x=y$, ולא באופן כללי.
25. $x=-2$ — $4x = -5 - (3) = -8$, ולכן $x=\frac{-8}{4}=-2$.
26. $2x+5y \le 100$ וגם $x+3y \le 45$ — עץ: כל כיסא צורך $2$ ק"ג, כל שולחן $5$ ק"ג, סה"כ עד $100$ ק"ג: $2x+5y \le 100$. עבודה: כל כיסא צורך שעה אחת, כל שולחן $3$ שעות, סה"כ עד $45$ שעות: $x+3y \le 45$.
27. $(6,\ 3.5)$ — מהמשוואה השנייה: $x=13-2y$. הצבה במשוואה הראשונה: $7(13-2y)+4y=56$, כלומר $91-14y+4y=56$, ולכן $-10y=-35$, כלומר $y=3.5$. לכן $x=13-7=6$. הנקודה היא $(6,\ 3.5)$.
28. $30$ — $20\%\cdot150=0.2\cdot150=30$.
29. $150$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 100 \cdot 1.5 = 150$ ק"מ.
30. $36$ — $40\%\cdot90=0.4\cdot90=36$.
31. $x=-1$ — $2x = 5 - (7) = -2$, ולכן $x = \frac{-2}{2} = -1$.
32. $1440$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 1000\cdot(1+0.2)^{2} = 1000\cdot1.44 = 1440$.
33. לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
34. $200$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 50 \cdot 4 = 200$ ק"מ.
35. ללא שינוי — $1.25 \times 0.8 = 1$, כלומר אין שינוי כולל.