אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $20\%$ — השינוי הוא $|60-50| = 10$ מתוך הבסיס $50$: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = 20\%$.
2. $(8,6)$ — מהמשוואה הראשונה: $x=20-2y$. הצבה במשוואה השנייה: $3(20-2y)+y=30$, כלומר $60-6y+y=30$, ולכן $-5y=-30$, כלומר $y=6$. לכן $x=20-12=8$. הקודקוד הוא $(8,6)$.
3. $x=-5$ — $4x = -23 - (-3) = -20$, ולכן $x=\frac{-20}{4}=-5$.
4. $Z=200x+350y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים מכל סוג טיול: $200$ ₪ כפול מספר טיולי המיניבוס ($x$) ועוד $350$ ₪ כפול מספר טיולי האוטובוס ($y$). לכן $Z=200x+350y$.
5. $27$ — $60\% \cdot 45 = \frac{60}{100} \cdot 45 = 27$.
6. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
7. $4x+9y \ge 180$, $300x+500y \le 12000$ וגם $y \le x$ — כמות מזערית להובלה: $4x+9y\ge180$. תקציב: $300x+500y\le12000$. יחס משאיות: $y\le x$ (גדולות לא יותר מקטנות).
8. $x=-1$ — $3x = 2 - (5) = -3$, ולכן $x = \frac{-3}{3} = -1$.
9. $x=-2$ — $7x = -14 - (0) = -14$, ולכן $x=\frac{-14}{7}=-2$.
10. $\\$2704$ — $K(1+p)^n = 2500 \cdot (1+0.04)^{2} = 2500 \cdot 1.0816 = 2704$.
11. $11$ — $44\%\cdot25=0.44\cdot25=11$.
12. $270$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 45 \cdot 6 = 270$ ק"מ.
13. $(8,0)$ — עם הפונקציה החדשה $Z=5x+y$: $(0,0)\to0$; $(0,5)\to5$; $(6,3)\to30+3=33$; $(8,0)\to40+0=40$. המקסימום החדש, $40$, מתקבל בקודקוד $(8,0)$. הגדלת המקדם של $x$ (מ-$2$ ל-$5$) והקטנת המקדם של $y$ (מ-$3$ ל-$1$) הזיזו את הנקודה האופטימלית לקודקוד עם ה-$x$ הגדול ביותר.
14. בקודקוד $(0,2)$, כאשר $Z=4$ — מציבים בכל קודקוד: $(0,2)\to0+4=4$; $(0,9)\to0+18=18$; $(5,7)\to30+14=44$; $(8,0)\to48+0=48$. העלות המינימלית, $4$, מתקבלת בקודקוד $(0,2)$.
15. $125\%$ — $\frac{80}{64} \cdot 100\% = 125\%$.
16. $40\%$ — כמות החומר: $5\cdot0.1+15\cdot0.5=8$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{8}{20}\cdot100\%=40\%$.
17. $x=-2$ — $3x = -4 - (2) = -6$, ולכן $x = \frac{-6}{3} = -2$.
18. $x=4$ — $4x = 18 - (2) = 16$, ולכן $x=\frac{16}{4}=4$.
19. $Z=7x+5y$ — הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני המוצרים: $7$ ₪ כפול מספר הגביעים ($x$) ועוד $5$ ₪ כפול מספר הקונוסים ($y$). לכן $Z=7x+5y$.
20. $6$ — $12\% \cdot 50 = \frac{12}{100} \cdot 50 = 6$.
21. $8x+12y \le 480$, $x+y \le 50$ וגם $y \ge 5$ — משקל: $8x+12y\le480$. מקום: $x+y\le50$. דרישה מזערית לספרים: $y\ge5$. שלושת האילוצים יחד מתארים את המצב.
22. $x=1$ — $6x = 11 - (5) = 6$, ולכן $x = \frac{6}{6} = 1$.
23. $45$ — $18\%\cdot250=0.18\cdot250=45$.
24. $30\%$ — כמות החומר: $10\cdot0.2+10\cdot0.4=6$ ליטר מתוך $20$ ליטר. הריכוז: $\frac{6}{20}\cdot100\%=30\%$.
25. $1440$ — גדילה מעריכית: $K(1+p)^n = 1000\cdot(1+0.2)^{2} = 1000\cdot1.44 = 1440$.
26. $25\%$ — השינוי הוא $|50-40| = 10$ מתוך הבסיס $40$: $\frac{10}{40} \cdot 100\% = 25\%$.
27. $\\$39366$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 60000 \cdot (1-0.1)^{4} = 60000\cdot0.6561 = 39366$.
28. $30$ — $20\%\cdot150=0.2\cdot150=30$.
29. $20x+15y \le 900$ וגם $30x+20y \le 960$ — עלות: $20$₪ לשוקולד ו-$15$₪ לוניל, לא יותר מ-$900$₪: $20x+15y\le900$. זמן: $30$ דק' לשוקולד ו-$20$ דק' לוניל, לא יותר מ-$960$ דק': $30x+20y\le960$.
30. $x=5,\ y=3$ — הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x=5,\ y=3$. הצבה: $2\cdot5+3\cdot3=19=19$ וגם $1\cdot5+1\cdot3=8=8$.
31. $25\%$ — $\frac{33}{132} \cdot 100\% = 25\%$.
32. $\\$5$ — מחיר העפרונות: $3\cdot2=6$. נותרו $16-6=10$ עבור $2$ מחברות, ולכן מחברת עולה $\frac{10}{2}=5$.
33. $33$ — $55\%\cdot60=0.55\cdot60=33$.
34. $x=3$ — $7x = 22 - (1) = 21$, ולכן $x=\frac{21}{7}=3$.
35. $11$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=33$, ולכן $x=11$.