אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=-1$ — $4x = -1 - (3) = -4$, ולכן $x = \frac{-4}{4} = -1$.
2. $\\$1259.71$ — $K(1+p)^n = 1000 \cdot (1+0.08)^{3} = 1000 \cdot 1.259712 \approx 1259.71$.
3. $20$ — נסמן את האמצעי $x$; אז $(x-1)+x+(x+1)=3x=60$, ולכן $x=20$.
4. $90$ — $120\%\cdot75=1.2\cdot75=90$.
5. $\\$170$ — ההנחה היא $0.15 \cdot 200 = 30$, ולכן המחיר הוא $200 - 30 = 170$.
6. $Z=60x+45y$ — הרווח הכולל מתקבל מסכום הרווחים משני סוגי הארגזים: $60x$ מהעגבניות ו-$45y$ מהמלפפונים. שימו לב שהאופציה $105(x+y)$ שגויה — היא מתאימה רק אם $x=y$, ולא באופן כללי.
7. $45$ — $30\% \cdot 150 = \frac{30}{100} \cdot 150 = 45$.
8. $(4,3)$ — הצבת $x=4$ במשוואה הראשונה: $3\cdot4+2y=18$, כלומר $12+2y=18$, ולכן $2y=6$ ו-$y=3$. הנקודה היא $(4,3)$.
9. $200$ ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \cdot 2.5 = 200$ ק"מ.
10. $4$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{20}+\frac{1}{5}=\frac{1}{4}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $4$ שעות.
11. $3x+4y \le 120$ וגם $x+y \le 35$ — נפח: $3x+4y\le120$ (תפוחים תופסים $3$ ליטר לק"ג, תפוזים $4$ ליטר לק"ג). משקל: $x+y\le35$ (כל ק"ג נספר פעם אחת ללא הבדל סוג).
12. $25\%$ — $\frac{18}{72} \cdot 100\% = 25\%$.
13. $13$ — $2\%\cdot650=0.02\cdot650=13$.
14. $50\%$ — השינוי הוא $|45-30| = 15$ מתוך הבסיס $30$: $\frac{15}{30} \cdot 100\% = 50\%$.
15. $\\$81000$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 100000 \cdot (1-0.1)^{2} = 100000\cdot0.81 = 81000$.
16. $1600$ — כל שעה כפול $2$: $200 \cdot 2^3 = 200 \cdot 8 = 1600$.
17. $x=4$ — $3x = 13 - (1) = 12$, ולכן $x=\frac{12}{3}=4$.
18. לא נכונה — משפט היסוד של תכנון ליניארי קובע שהמקסימום מתקבל דווקא בקודקוד — כאשר פונקציית המטרה ליניארית, ערכה בכל נקודה פנימית בתחום קמור נמוך או שווה לערכה בקודקוד הטוב ביותר — לעולם לא גבוה יותר. לכן הטענה של המנהל אינה נכונה: אין טעם לחפש פתרון אופטימלי בתוך התחום.
19. $x=5$ — $4x = 26 - (6) = 20$, ולכן $x=\frac{20}{4}=5$.
20. בקודקוד $(2,3)$, כאשר $Z=12$ — מציבים בכל קודקוד: $(2,3)\to3\cdot2+2\cdot3=6+6=12$; $(2,9)\to6+18=24$; $(7,6)\to21+12=33$; $(10,2)\to30+4=34$. העלות המינימלית, $12$, מתקבלת בקודקוד $(2,3)$.
21. $20$ — נסמן את גיל הבן $x$; גיל האב $x+30$. אז $x+(x+30)=70$, $2x=40$, $x=20$.
22. $x=5$ — $2x = 14 - (4) = 10$, ולכן $x=\frac{10}{2}=5$.
23. $25\%$ — $\frac{9}{36} \cdot 100\% = 25\%$.
24. $\\$2160$ — בריבית פשוטה: $K + K \cdot p \cdot n = 2000 + 2000\cdot0.04\cdot2 = 2160$.
25. $3$ שעות — קצב משותף: $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ של העבודה לשעה, ולכן הזמן המשותף הוא $3$ שעות.
26. $45$ — $90\%\cdot50=0.9\cdot50=45$.
27. $x=-3$ — $4x = -13 - (-1) = -12$, ולכן $x=\frac{-12}{4}=-3$.
28. $x=2$ — $2x = 2 - (-2) = 4$, ולכן $x=\frac{4}{2}=2$.
29. $4x+6y \le 180$ וגם $x \ge 2y$ — זמן: $4x+6y\le180$. היחס בין סוגי התרגילים ניתן ישירות בשאלה: $x\ge2y$ (מספר תרגילי א' לפחות כפול ממספר תרגילי ב').
30. $\\$39366$ — דעיכה מעריכית: $K(1-p)^n = 60000 \cdot (1-0.1)^{4} = 60000\cdot0.6561 = 39366$.
31. $x=-1$ — $2x = 3 - (5) = -2$, ולכן $x=\frac{-2}{2}=-1$.
32. בקודקוד $(1,2)$, כאשר $Z=7$ — מציבים בכל קודקוד: $(1,2)\to5\cdot1+2=7$; $(1,9)\to5+9=14$; $(8,4)\to40+4=44$. העלות המינימלית, $7$, מתקבלת בקודקוד $(1,2)$.
33. $x=-1$ — $6x = -3 - (3) = -6$, ולכן $x=\frac{-6}{6}=-1$.
34. $\\$526.5$ — $500 \cdot 0.9 = 450$, ואז $450 \cdot 1.17 = 526.5$.
35. $x=1$ — $5x = 12 - (7) = 5$, ולכן $x = \frac{5}{5} = 1$.