פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
2. 5 — נציב $x = 1: f(1) = 3 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 1 = 3 + 1 + 1 = 5$.
3. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$.
4. −6 — נציב $x = -1: f(-1) = -1 \cdot (-1)^{2} + 3 \cdot (-1) + -2 = -1 + -3 + -2 = -6$.
5. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
6. $y = -2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -1}{3 - 1} = -2$. נציב נקודה: $b = -1 - (-2)(1) = 1$. המשוואה: $y = -2x + 1$.
7. $y = -x + 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $5 = -1 \cdot (-1) + b$, ומכאן $b = 4$. לכן המשוואה: $y = -x + 4$.
8. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \times 3 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
9. $y = -2x - 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -1$. לכן המשוואה: $y = -2x - 1$.
10. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
11. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
12. 1 ו-5 שניות — מציבים $f(t)=25$: $-5t^2+30t=25$, כלומר $-5t^2+30t-25=0$. מחלקים ב-$-5$: $t^2-6t+5=0$, ומפרקים: $(t-1)(t-5)=0$, ולכן $t=1$ או $t=5$. שני הזמנים תקפים (תחום התנועה $t\in[0,6]$, שכן $f(t)=0$ ב-$t=0$ וב-$t=6$): האבן נמצאת בגובה 25 מטרים פעם אחת בעלייה (לאחר שנייה) ופעם אחת בירידה (לאחר 5 שניות).
13. $y = 2x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -2}{3 - 1} = 2$. נציב נקודה: $b = -2 - (2)(1) = -4$. המשוואה: $y = 2x - 4$.
14. $y = x + 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $3 = 1 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = 1$. לכן המשוואה: $y = x + 1$.
15. $x = 5$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
16. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.
17. $(0, 9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 9 = 9$. הנקודה: $(0, 9)$.
18. $y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
19. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
20. $x = 2 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 8x + 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - 6) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 6$.
21. 2 מטרים ו-6 מטרים — מציבים $f(x)=12$: $-x^2+8x=12$. מעבירים אגף: $-x^2+8x-12=0$, כופלים ב-$-1$: $x^2-8x+12=0$. מפרקים לגורמים: $(x-2)(x-6)=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$. שתי התוצאות חיוביות והגיוניות בהקשר (המרחק האופקי הוא בין 0 ל-8, נקודת הנחיתה), כך שהכדור נמצא בגובה 12 מטרים פעמיים לאורך מסלולו: פעם אחת בעלייה (במרחק 2 מ') ופעם אחת בירידה (במרחק 6 מ').
22. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
23. 3 יחידות, רווח 26 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 26$ ש"ח.
24. x < −4 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -4$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −4.
25. $y = -5x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{1 - -4}{-1 - 0} = -5$. נציב נקודה: $b = -4 - (-5)(0) = -4$. המשוואה: $y = -5x - 4$.
26. $y = 5x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -5}{0 - -2} = 5$. נציב נקודה: $b = -5 - (5)(-2) = 5$. המשוואה: $y = 5x + 5$.
27. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.
28. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
29. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
30. הרווח המקסימלי לפי המודל $g$ קטן מהרווח המקסימלי לפי המודל $f$ — עבור $f$: קודקוד ב-$x=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5$, ו-$f(5)=-25+50-9=16$. עבור $g$: קודקוד ב-$x=-\frac{10}{2\cdot(-2)}=2.5$, ו-$g(2.5)=-2(6.25)+25-9=-12.5+25-9=3.5$. מכיוון ש-$16>3.5$, הרווח המקסימלי לפי $g$ (עם המקדם הראשי השלילי יותר, $a=-2$) קטן משמעותית מזה של $f$ — מקדם ראשי 'תלול' יותר מייצר פרבולה צרה יותר עם קודקוד נמוך יותר בהינתן אותם $b,c$.
31. 11 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -5}{-1 - -2} = \frac{11}{1} = 11$.
32. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
33. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
34. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
35. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.