פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = x + 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $3 = 1 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = 1$. לכן המשוואה: $y = x + 1$.
2. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
3. $y = -3x + 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -2}{3 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -2 - (-3)(2) = 4$. המשוואה: $y = -3x + 4$.
4. $x = 2 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 8x + 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - 6) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 6$.
5. x>4 — מכיוון ש-$a=0.5>0$ הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד ב-$x=-\dfrac{-4}{2\cdot0.5}=4$. בפרבולה כזו הפונקציה יורדת עד הקודקוד ועולה אחריו, כלומר עבור $x>4$.
6. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
7. את נקודת הבעיטה ואת נקודת הנחיתה של הכדור — נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ הן הנקודות שבהן $f(x)=0$, כלומר גובה הכדור הוא 0 — כלומר הכדור נמצא על גובה הקרקע. $x=0$ מייצג את רגע הבעיטה (תחילת התנועה, כשהכדור עדיין על הקרקע), ו-$x=6$ מייצג את הרגע שבו הכדור חוזר לגעת בקרקע, כלומר נקודת הנחיתה.
8. x < −2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -2$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −2.
9. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
10. 4.5 מטרים — מציבים $x=2$: $h(2)=-2^2+4\cdot2+0.5=-4+8+0.5=4.5$.
11. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
12. 11 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -5}{-1 - -2} = \frac{11}{1} = 11$.
13. $y = -x + 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $5 = -1 \cdot (-1) + b$, ומכאן $b = 4$. לכן המשוואה: $y = -x + 4$.
14. x=2 — קודקוד הפרבולה מתקבל ב-$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=-\dfrac{8}{-4}=2$. מכיוון ש-$a=-2<0$, זו נקודת מקסימום.
15. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
16. הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק קטן יותר מהכדור לפי $g$ — מרחק המקסימום מתקבל מנוסחת שיעור ה-$x$ של קודקוד הפרבולה $x=-\frac{b}{2a}$. עבור $f$: $a=-2,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. עבור $g$: $a=-1,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4$. מכיוון ש-$2<4$, הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק אופקי קטן יותר. (בנוסף, $f(2)=11$ בעוד $g(4)=19$, כך שהגובה המקסימלי של $f$ דווקא קטן יותר — כך שהטענה השלישית שגויה.)
17. x < −4 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -4$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −4.
18. 450 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 90 \times 5 = 450$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
19. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
20. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
21. לאחר 6 מטרים — נקודות החיתוך עם ציר $x$ מתקבלות מהצבת $f(x)=0$: $-x^2+6x=0$, כלומר $-x(x-6)=0$, ולכן $x=0$ או $x=6$. הפתרון $x=0$ מייצג את נקודת הבעיטה עצמה (תחילת התנועה) ואינו רלוונטי לשאלת הנחיתה. הפתרון $x=6$ הוא נקודת החיתוך השנייה, המייצגת את המרחק שבו הכדור נוגע שוב בקרקע — כלומר, הכדור נוחת לאחר 6 מטרים.
22. x < 2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 2$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 2.
23. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
24. $(-1, 7)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = -1$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + 6 = 7$. הקודקוד: $(-1, 7)$.
25. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$.
26. $(1, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (1)^{2} + -2 \cdot (1) + 3 = 2$. הקודקוד: $(1, 2)$.
27. $y = x - 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-2 - -3}{-1 - -2} = 1$. נציב נקודה: $b = -3 - (1)(-2) = -1$. המשוואה: $y = x - 1$.
28. x > 3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 3$. השיפוע 2 חיובי, ולכן הפונקציה עולה וחיובית מימין לנקודת האפס. תחום החיוביות: x > 3.
29. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.
30. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
31. $(0, 6)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot 0 + 6 = 6$. הנקודה היא $(0, 6)$.
32. $y = -6x + 11$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - 1} = -6$. נציב נקודה: $b = 5 - (-6)(1) = 11$. המשוואה: $y = -6x + 11$.
33. x>3 — מכיוון ש-$a=-2<0$ הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד ב-$x=-\dfrac{12}{2\cdot(-2)}=3$. הפונקציה עולה עד הקודקוד ויורדת אחריו, כלומר עבור $x>3$.
34. 0 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + -3 = 1 + 2 + -3 = 0$.
35. $y = 2x - 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 2$ ואת הנקודה: $-2 = 2 \cdot (1) + b$, ומכאן $b = -4$. לכן המשוואה: $y = 2x - 4$.