פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
2. −5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −5.
3. 1 ו-5 שניות — מציבים $f(t)=25$: $-5t^2+30t=25$, כלומר $-5t^2+30t-25=0$. מחלקים ב-$-5$: $t^2-6t+5=0$, ומפרקים: $(t-1)(t-5)=0$, ולכן $t=1$ או $t=5$. שני הזמנים תקפים (תחום התנועה $t\in[0,6]$, שכן $f(t)=0$ ב-$t=0$ וב-$t=6$): האבן נמצאת בגובה 25 מטרים פעם אחת בעלייה (לאחר שנייה) ופעם אחת בירידה (לאחר 5 שניות).
4. $(-3, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 9$, ומכאן $x = -3$. הנקודה היא $(-3, 0)$.
5. $(-3, -10)$ — נציב $x = -3: y = 2 \cdot (-3) + -4 = -10$. לכן הנקודה $(-3, -10)$ נמצאת על הישר.
6. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
7. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
8. $x = 0 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 0)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 2$.
9. $(4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -2x + 8$, ומכאן $x = 4$. הנקודה היא $(4, 0)$.
10. $(5, 12)$ — משווים: $3x + -3 = 2x + 2$. מכאן $1x = 5$, אז $x = 5$. נציב: $y = 3 \cdot (5) + -3 = 12$. נקודת החיתוך: $(5, 12)$.
11. 2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 2}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
12. $(-4, 3)$ — משווים: $-2x + -5 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = -2 \cdot (-4) + -5 = 3$. נקודת החיתוך: $(-4, 3)$.
13. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.
14. x=2 — קודקוד הפרבולה מתקבל ב-$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=-\dfrac{8}{-4}=2$. מכיוון ש-$a=-2<0$, זו נקודת מקסימום.
15. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
16. x>4 — מכיוון ש-$a=0.5>0$ הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד ב-$x=-\dfrac{-4}{2\cdot0.5}=4$. בפרבולה כזו הפונקציה יורדת עד הקודקוד ועולה אחריו, כלומר עבור $x>4$.
17. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
18. $(0, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -2} = 0$. נציב למציאת $y: y = -2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 0 = 0$. הקודקוד: $(0, 0)$.
19. $(1, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (1)^{2} + -2 \cdot (1) + 3 = 2$. הקודקוד: $(1, 2)$.
20. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
21. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
22. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
23. x < 2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 2$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 2.
24. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
25. 20 אלף ₪ — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{6}{2\cdot(-0.5)}=6$. הרווח המקסימלי: $P(6)=-0.5\cdot6^2+6\cdot6+2=-18+36+2=20$.
26. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
27. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
28. $(0, -5)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot 0 + -5 = -5$. הנקודה היא $(0, -5)$.
29. $(-1, 7)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = -1$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + 6 = 7$. הקודקוד: $(-1, 7)$.
30. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
31. $(0, 9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 9 = 9$. הנקודה: $(0, 9)$.
32. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
33. $(0, 1)$ — משווים: $-1x + 1 = 3x + 1$. מכאן $-4x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot (0) + 1 = 1$. נקודת החיתוך: $(0, 1)$.
34. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
35. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.