פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 0 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 6}{-5 - 0} = 0 / -5 = 0$.
2. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
3. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
4. $y = 2x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -2}{3 - 1} = 2$. נציב נקודה: $b = -2 - (2)(1) = -4$. המשוואה: $y = 2x - 4$.
5. 20 מטר — הגובה ההתחלתי מתקבל מנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$y$, כלומר בהצבת $t=0$: $f(0)=-5(0)^2+15(0)+20=20$. משמעות הדבר היא שהאובייקט מתחיל את תנועתו מגובה של 20 מטרים מעל הקרקע, כלומר גובה הבניין.
6. $y = -5x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{1 - -4}{-1 - 0} = -5$. נציב נקודה: $b = -4 - (-5)(0) = -4$. המשוואה: $y = -5x - 4$.
7. 4 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 4, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 4.
8. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
9. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.
10. 4.5 מטרים — מציבים $x=2$: $h(2)=-2^2+4\cdot2+0.5=-4+8+0.5=4.5$.
11. $y = x + 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $3 = 1 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = 1$. לכן המשוואה: $y = x + 1$.
12. 4 מטרים — מציבים $f(x)=7$: $-x^2+2x+15=7$, כלומר $-x^2+2x+8=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-2x-8=0$, ומפרקים: $(x-4)(x+2)=0$, ולכן $x=4$ או $x=-2$. מכיוון ש-$x$ מייצג מרחק אופקי מנקודת ההמראה, ולכן חייב לקיים $x\ge0$, הפתרון $x=-2$ נפסל כלא הגיוני פיזיקלית. הפתרון היחיד המתקבל הוא $x=4$.
13. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 1$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
14. $y = 5x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -5}{0 - -2} = 5$. נציב נקודה: $b = -5 - (5)(-2) = 5$. המשוואה: $y = 5x + 5$.
15. $(0, 3)$ — משווים: $-2x + 3 = 3x + 3$. מכאן $-5x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot (0) + 3 = 3$. נקודת החיתוך: $(0, 3)$.
16. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
17. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -4x + 8$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
18. $(0, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -4 \cdot 0 + 0 = 0$. הנקודה היא $(0, 0)$.
19. $(0, -4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + -4 = -4$. הנקודה: $(0, -4)$.
20. 4 מטר, בזמן 2 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$ שניות. הגובה: $h(2) = 4$ מטר.
21. הרווח המקסימלי לפי המודל $g$ קטן מהרווח המקסימלי לפי המודל $f$ — עבור $f$: קודקוד ב-$x=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5$, ו-$f(5)=-25+50-9=16$. עבור $g$: קודקוד ב-$x=-\frac{10}{2\cdot(-2)}=2.5$, ו-$g(2.5)=-2(6.25)+25-9=-12.5+25-9=3.5$. מכיוון ש-$16>3.5$, הרווח המקסימלי לפי $g$ (עם המקדם הראשי השלילי יותר, $a=-2$) קטן משמעותית מזה של $f$ — מקדם ראשי 'תלול' יותר מייצר פרבולה צרה יותר עם קודקוד נמוך יותר בהינתן אותם $b,c$.
22. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
23. $y = -x + 6$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $2 = -1 \cdot (4) + b$, ומכאן $b = 6$. לכן המשוואה: $y = -x + 6$.
24. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
25. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
26. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
27. $x = -1 , x = 3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x - 3 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 3)(x - -1) = 0$, ומכאן $x = -1$ או $x = 3$.
28. 0<x<4 — מכיוון ש-$a=0.25>0$ הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד ב-$x=-\dfrac{-2}{2\cdot0.25}=4$. הפונקציה יורדת עד הקודקוד, כלומר בתחום $0<x<4$, ועולה אחריו.
29. הכדור מתחיל את תנועתו מגובה הקרקע (0 מטר) — הצבת $t=0$ נותנת $f(0)=-5(0)^2+20(0)=0$, כך שנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ היא $(0,0)$. משמעות הדבר היא שברגע הזריקה ($t=0$) הכדור נמצא בגובה 0, כלומר על הקרקע — זו נקודת ההתחלה של התנועה, ולא נקודת המקסימום או הנחיתה בסוף המסלול.
30. $y = x - 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-2 - -3}{-1 - -2} = 1$. נציב נקודה: $b = -3 - (1)(-2) = -1$. המשוואה: $y = x - 1$.
31. $(-4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 12$, ומכאן $x = -4$. הנקודה היא $(-4, 0)$.
32. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
33. $y = 2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - 1}{-3 - 0} = 2$. נציב נקודה: $b = 1 - (2)(0) = 1$. המשוואה: $y = 2x + 1$.
34. −6 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -6}{-5 - -3} = 12 / -2 = -6$.
35. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.