פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = -6x + 11$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - 1} = -6$. נציב נקודה: $b = 5 - (-6)(1) = 11$. המשוואה: $y = -6x + 11$.
2. $x = 0$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
3. $(0, -2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + -2 = -2$. הקודקוד: $(0, -2)$.
4. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
5. $(-3, -10)$ — נציב $x = -3: y = 2 \cdot (-3) + -4 = -10$. לכן הנקודה $(-3, -10)$ נמצאת על הישר.
6. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
7. $y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
8. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.
9. 450 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 90 \times 5 = 450$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
10. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
11. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
12. $(0, 2)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -4 \cdot 0 + 2 = 2$. הנקודה: $(0, 2)$.
13. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.
14. x=3 — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\cdot(-0.5)}=-\dfrac{3}{-1}=3$.
15. $x = -3$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = -3$.
16. 4 מטרים — מציבים $f(x)=7$: $-x^2+2x+15=7$, כלומר $-x^2+2x+8=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-2x-8=0$, ומפרקים: $(x-4)(x+2)=0$, ולכן $x=4$ או $x=-2$. מכיוון ש-$x$ מייצג מרחק אופקי מנקודת ההמראה, ולכן חייב לקיים $x\ge0$, הפתרון $x=-2$ נפסל כלא הגיוני פיזיקלית. הפתרון היחיד המתקבל הוא $x=4$.
17. −6 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -6}{-5 - -3} = 12 / -2 = -6$.
18. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
19. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
20. −6 — נציב $x = -1: f(-1) = -1 \cdot (-1)^{2} + 3 \cdot (-1) + -2 = -1 + -3 + -2 = -6$.
21. 18 מטרים — ערך ה-$t$ של הקודקוד: $t=-\dfrac{16}{2\cdot(-4)}=2$. הגובה המקסימלי: $h(2)=-4\cdot2^2+16\cdot2+2=-16+32+2=18$.
22. 5 — נציב $x = 1: f(1) = 3 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 1 = 3 + 1 + 1 = 5$.
23. הכדור מתחיל את תנועתו מגובה הקרקע (0 מטר) — הצבת $t=0$ נותנת $f(0)=-5(0)^2+20(0)=0$, כך שנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ היא $(0,0)$. משמעות הדבר היא שברגע הזריקה ($t=0$) הכדור נמצא בגובה 0, כלומר על הקרקע — זו נקודת ההתחלה של התנועה, ולא נקודת המקסימום או הנחיתה בסוף המסלול.
24. $(-3, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 9$, ומכאן $x = -3$. הנקודה היא $(-3, 0)$.
25. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
26. $y = x - 2$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $1 = 1 \cdot (3) + b$, ומכאן $b = -2$. לכן המשוואה: $y = x - 2$.
27. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.
28. 3 יחידות, רווח 26 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 26$ ש"ח.
29. 6 — מציבים $f(x)=12$: $-x^2+6x+7=12$, כלומר $-x^2+6x-5=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-6x+5=0$, ומפרקים: $(x-1)(x-5)=0$, ולכן $x=1$ או $x=5$. שני הערכים חיוביים והגיוניים (תחום התנועה של החץ הוא בין $x=0$ ל-$x=7$, נקודת הנחיתה). סכום שני המרחקים: $1+5=6$.
30. את נקודת הבעיטה ואת נקודת הנחיתה של הכדור — נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ הן הנקודות שבהן $f(x)=0$, כלומר גובה הכדור הוא 0 — כלומר הכדור נמצא על גובה הקרקע. $x=0$ מייצג את רגע הבעיטה (תחילת התנועה, כשהכדור עדיין על הקרקע), ו-$x=6$ מייצג את הרגע שבו הכדור חוזר לגעת בקרקע, כלומר נקודת הנחיתה.
31. 2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 2}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
32. 2 — נציב $x = 1: f(1) = -2 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 3 = -2 + 1 + 3 = 2$.
33. x < 1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 1$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 1.
34. שיפוע −3, חיתוך עם y ב-2 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -3$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = 2$.
35. $(0, 3)$ — משווים: $-2x + 3 = 3x + 3$. מכאן $-5x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot (0) + 3 = 3$. נקודת החיתוך: $(0, 3)$.