פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = -6x - 7$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -1}{-2 - -1} = -6$. נציב נקודה: $b = -1 - (-6)(-1) = -7$. המשוואה: $y = -6x - 7$.
2. 1 ו-5 שניות — מציבים $f(t)=25$: $-5t^2+30t=25$, כלומר $-5t^2+30t-25=0$. מחלקים ב-$-5$: $t^2-6t+5=0$, ומפרקים: $(t-1)(t-5)=0$, ולכן $t=1$ או $t=5$. שני הזמנים תקפים (תחום התנועה $t\in[0,6]$, שכן $f(t)=0$ ב-$t=0$ וב-$t=6$): האבן נמצאת בגובה 25 מטרים פעם אחת בעלייה (לאחר שנייה) ופעם אחת בירידה (לאחר 5 שניות).
3. $(-3, -13)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + -4 = -13$. הקודקוד: $(-3, -13)$.
4. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
5. $(5, 12)$ — משווים: $3x + -3 = 2x + 2$. מכאן $1x = 5$, אז $x = 5$. נציב: $y = 3 \cdot (5) + -3 = 12$. נקודת החיתוך: $(5, 12)$.
6. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
7. 11 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -5}{-1 - -2} = \frac{11}{1} = 11$.
8. $y = 2x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -2}{3 - 1} = 2$. נציב נקודה: $b = -2 - (2)(1) = -4$. המשוואה: $y = 2x - 4$.
9. 8 — בפרבולה, כל שתי נקודות באותו גובה (שאינן קודקוד) הן סימטריות ביחס לציר הסימטריה. המרחק בין $x=2$ לציר הסימטריה $x=5$ הוא $5-2=3$. הנקודה הנוספת נמצאת באותו מרחק מציר הסימטריה אך בכיוון ההפוך: $5+3=8$. לכן בנקודה $x=8$ הגובה יהיה גם הוא 9 מטרים.
10. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
11. הרווח המקסימלי לפי המודל $g$ קטן מהרווח המקסימלי לפי המודל $f$ — עבור $f$: קודקוד ב-$x=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5$, ו-$f(5)=-25+50-9=16$. עבור $g$: קודקוד ב-$x=-\frac{10}{2\cdot(-2)}=2.5$, ו-$g(2.5)=-2(6.25)+25-9=-12.5+25-9=3.5$. מכיוון ש-$16>3.5$, הרווח המקסימלי לפי $g$ (עם המקדם הראשי השלילי יותר, $a=-2$) קטן משמעותית מזה של $f$ — מקדם ראשי 'תלול' יותר מייצר פרבולה צרה יותר עם קודקוד נמוך יותר בהינתן אותם $b,c$.
12. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
13. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
14. $(-2, -9)$ — נציב $x = -2: y = 3 \cdot (-2) + -3 = -9$. לכן הנקודה $(-2, -9)$ נמצאת על הישר.
15. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
16. 20 מטר — הגובה ההתחלתי מתקבל מנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$y$, כלומר בהצבת $t=0$: $f(0)=-5(0)^2+15(0)+20=20$. משמעות הדבר היא שהאובייקט מתחיל את תנועתו מגובה של 20 מטרים מעל הקרקע, כלומר גובה הבניין.
17. 0 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 6}{-5 - 0} = 0 / -5 = 0$.
18. $x = 5$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
19. $y = -x + 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $5 = -1 \cdot (-1) + b$, ומכאן $b = 4$. לכן המשוואה: $y = -x + 4$.
20. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
21. 400 יחידות או 600 יחידות — מציבים $f(x)=15$: $-x^2+10x-9=15$, כלומר $-x^2+10x-24=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-10x+24=0$. הדיסקרימיננטה: $\Delta=100-96=4$, $\sqrt{\Delta}=2$. הפתרונות: $x=\frac{10\pm2}{2}$, כלומר $x=4$ או $x=6$. מכיוון ש-$x$ נמדד במאות יחידות, מדובר ב-400 או 600 יחידות.
22. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 3$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
23. 2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 2}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
24. $y = x - 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-2 - -3}{-1 - -2} = 1$. נציב נקודה: $b = -3 - (1)(-2) = -1$. המשוואה: $y = x - 1$.
25. x < −1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -1$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −1.
26. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
27. $y = -3x + 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -2}{3 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -2 - (-3)(2) = 4$. המשוואה: $y = -3x + 4$.
28. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
29. $x = 2 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 8x + 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - 6) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 6$.
30. x=3 — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\cdot(-0.5)}=-\dfrac{3}{-1}=3$.
31. 0 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + -3 = 1 + 2 + -3 = 0$.
32. $(0, -4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + -4 = -4$. הנקודה: $(0, -4)$.
33. $(-3, -10)$ — נציב $x = -3: y = 2 \cdot (-3) + -4 = -10$. לכן הנקודה $(-3, -10)$ נמצאת על הישר.
34. $(3, 8)$ — משווים: $3x + -1 = 1x + 5$. מכאן $2x = 6$, אז $x = 3$. נציב: $y = 3 \cdot (3) + -1 = 8$. נקודת החיתוך: $(3, 8)$.
35. 4 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 4, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 4.