פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 21 מטרים — מציבים $t=2$: $h(2)=-5\cdot2^2+20\cdot2+1=-5\cdot4+40+1=-20+40+1=21$.
2. את נקודת הבעיטה ואת נקודת הנחיתה של הכדור — נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ הן הנקודות שבהן $f(x)=0$, כלומר גובה הכדור הוא 0 — כלומר הכדור נמצא על גובה הקרקע. $x=0$ מייצג את רגע הבעיטה (תחילת התנועה, כשהכדור עדיין על הקרקע), ו-$x=6$ מייצג את הרגע שבו הכדור חוזר לגעת בקרקע, כלומר נקודת הנחיתה.
3. $y = -5x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{1 - -4}{-1 - 0} = -5$. נציב נקודה: $b = -4 - (-5)(0) = -4$. המשוואה: $y = -5x - 4$.
4. לאחר 6 מטרים — נקודות החיתוך עם ציר $x$ מתקבלות מהצבת $f(x)=0$: $-x^2+6x=0$, כלומר $-x(x-6)=0$, ולכן $x=0$ או $x=6$. הפתרון $x=0$ מייצג את נקודת הבעיטה עצמה (תחילת התנועה) ואינו רלוונטי לשאלת הנחיתה. הפתרון $x=6$ הוא נקודת החיתוך השנייה, המייצגת את המרחק שבו הכדור נוגע שוב בקרקע — כלומר, הכדור נוחת לאחר 6 מטרים.
5. $y = -2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -1}{3 - 1} = -2$. נציב נקודה: $b = -1 - (-2)(1) = 1$. המשוואה: $y = -2x + 1$.
6. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
7. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
8. −6 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -6}{-5 - -3} = 12 / -2 = -6$.
9. $x = 2 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 8x + 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - 6) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 6$.
10. $(1, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (1)^{2} + -2 \cdot (1) + 3 = 2$. הקודקוד: $(1, 2)$.
11. x < −4 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -4$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −4.
12. −13 — נציב $x = -3: f(-3) = -1 \cdot (-3)^{2} + 1 \cdot (-3) + -1 = -9 + -3 + -1 = -13$.
13. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.
14. 5 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-4 - 1}{-2 - -1} = -5 / -1 = 5$.
15. 4 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 4, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 4.
16. $(2, 2)$ — משווים: $1x + 0 = -1x + 4$. מכאן $2x = 4$, אז $x = 2$. נציב: $y = 1 \cdot (2) + 0 = 2$. נקודת החיתוך: $(2, 2)$.
17. $y = -x + 6$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $2 = -1 \cdot (4) + b$, ומכאן $b = 6$. לכן המשוואה: $y = -x + 6$.
18. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
19. $(0, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -2} = 0$. נציב למציאת $y: y = -2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 0 = 0$. הקודקוד: $(0, 0)$.
20. $(-1, 0)$ — משווים: $-2x + -2 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 1$, אז $x = -1$. נציב: $y = -2 \cdot (-1) + -2 = 0$. נקודת החיתוך: $(-1, 0)$.
21. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
22. 1 — נציב $x = 0: f(0) = 2 \cdot (0)^{2} + 1 \cdot (0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.
23. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
24. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \times 3 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
25. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
26. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 1$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
27. 450 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 90 \times 5 = 450$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
28. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
29. $x = 0 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 0)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 2$.
30. $y = x - 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-2 - -3}{-1 - -2} = 1$. נציב נקודה: $b = -3 - (1)(-2) = -1$. המשוואה: $y = x - 1$.
31. $x = -1 , x = 3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x - 3 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 3)(x - -1) = 0$, ומכאן $x = -1$ או $x = 3$.
32. $y = -6x - 7$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -1}{-2 - -1} = -6$. נציב נקודה: $b = -1 - (-6)(-1) = -7$. המשוואה: $y = -6x - 7$.
33. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
34. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
35. x=2 — קודקוד הפרבולה מתקבל ב-$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=-\dfrac{8}{-4}=2$. מכיוון ש-$a=-2<0$, זו נקודת מקסימום.