חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. g(x) = 2x − 3 — f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x + 3. −f(−x) = −(−2x + 3) = 2x − 3.
2. הזזה 2 ימינה ו-6 מעלה — (x − 2)² מעיד על הזזה 2 ימינה, ו-+6 על הזזה 6 מעלה.
3. g(x) = |x − 6| — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 6) = |x − 6|.
4. g(x) = (1/2)|x| — כיווץ אנכי פי 2 פירושו הכפלה במקדם 1/2: g(x) = (1/2)·|x|.
5. g(x) = −2x² — מתיחה אנכית פי 2: 2x². שיקוף לציר ה-x מוסיף מינוס: −2x².
6. 0 — g(x) = |x + 3|. הצבה: g(−3) = |−3 + 3| = |0| = 0.
7. 4 — g(3) = 3-1 = 2. f(g(3)) = f(2) = 2² = 4.
8. (1, 1) — משיק — x² = 2x − 1 ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ (x − 1)² = 0. שורש כפול x = 1.
9. 8 — f(−2) = (−2)³ = −8. g(−2) = −f(−2) = −(−8) = 8.
10. כל המספרים הממשיים חוץ מ-0 — אסור לחלק באפס, לכן x = 0 מוצא מתחום ההגדרה. כל x ≠ 0 מותר
11. t = 2.5 שניות — t_v = −25/(−10) = 2.5 שניות.
12. 16 — g(x) = x³ + 8. הצבה: g(2) = 2³ + 8 = 8 + 8 = 16.
13. g(x) = 1/(x − 2) — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 2) = 1/(x − 2).
14. (16, 2) — מתיחה אופקית פי 2: x → 2x = 16. y נשאר 2.
15. הזזה ימינה 1 ומעלה 4 — (x − 1) ⇒ הזזה ימינה ב-1. + 4 ⇒ הזזה מעלה ב-4.
16. y ≥ 1 — x² ≥ 0 לכל x, לכן x² + 1 ≥ 1. הערך המינימלי הוא 1 (כאשר x = 0). תחום הערכים: y ≥ 1
17. 4 ימינה — √(2x − 8) = √(2(x − 4)) = f(x − 4). זו הזזה של f(x) = √(2x) ב-4 יחידות ימינה.
18. x = 4 — העלאה בריבוע: x = x² − 4x + 4 ⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 או x = 4. בדיקה: x = 1 ⇒ 1 = −1 פסול. x = 4 ⇒ 2 = 2 ✓.
19. אין פתרונות — x² − x + 1 = 0. Δ = 1 − 4 = −3 < 0. אין פתרונות ממשיים.
20. 49 — f(2) = 3(2) + 1 = 7. g(7) = 7² = 49
21. g(x) = −x² − 1 — f(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1. −f(−x) = −(x² + 1) = −x² − 1.
22. x = 3, x = −3 — y = |x| חותך את y = 3 בשתי נקודות x = ±3.
23. f(2) = g(2) = 5 — נקודת חיתוך משותפת ⇒ אותו x נותן אותו y בשני הגרפים.
24. (0, −4) — |x| מתאפס ב-x = 0, ולאחר הזזה 4 מטה הערך הוא −4. נקודת מינימום: (0, −4).
25. (1, 0) ו-(−5, 0) — פותרים (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
26. g(x) = |x|/3 — כיווץ אנכי פי 3 = הכפלה ב-1/3. מתקבל |x|/3.
27. g(x) = −2x + 1 — g(x) = f(−x) = 2(−x) + 1 = −2x + 1.
28. g(x) = √(x/4) — מתיחה אופקית פי 4 = החלפת x ב-x/4. מתקבל √(x/4).
29. x > 1 — שורש דורש x − 1 ≥ 0, מכנה דורש x − 1 ≠ 0. שניהם יחד: x − 1 > 0.
30. g(x) = |x/2| − 1 — הצבה ישירה: f(x/2) = |x/2|, ואז מורידים 1.