∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. 2.4 שניות, גובה 30.8 מטרים — הגובה המרבי מתקבל בקודקוד הפרבולה. הזמן: $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-5)}=2.4$ שניות. הגובה: $h(2.4)=-5\cdot2.4^{2}+24\cdot2.4+2=-28.8+57.6+2=30.8$ מטרים. טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $t=-\frac{b}{a}$ (בלי לחלק ב-2), מה שנותן $t=4.8$ שגוי.
2. $(3, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד תלוי רק ב-$a,b$ ולא ב-$k$: $x=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. הנתון ש-הקודקוד על ציר ה-x אומר בדיוק ש-$y=0$ שם, בלי צורך לחשב את $k$. הקודקוד: $(3,0)$. טעות נפוצה: לנסות למצוא את $k$ ואז להציב, במקום לשים לב שהנתון כבר קובע $y=0$.
3. 36 מטר — $\int 8t dt = 4t^{2}$. הדרך $= 4 \cdot 9 - 0 = 36$ מטר. הדרך$/$כמות $=$ האינטגרל המסוים של הקצב על פני הזמן.
4. $(0, -9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x=0$: $y=3\cdot0^{2}-6\cdot0-9=-9$. הנקודה: $(0,-9)$.
5. 0.4 — הציבו את הנקודה $(0,90)$: $90 = a(0-10)^{2}+50 = 100a+50$. מכאן $40=100a$, ולכן $a=0.4$. מכיוון ש-$a>0$ הפרבולה פותחת כלפי מעלה, בהתאמה לכך שהקודקוד הוא נקודת מינימום של עלות. טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע את $(0-10)$ ולקבל משוואה לינארית שגויה.
6. אין ערכי x כאלה — הפונקציה אף פעם אינה חיובית — אם הפרבולה פותחת כלפי מטה ונוגעת בציר ה-x בנקודה יחידה, סימן שהנקודה הזו היא הקודקוד, וערך הפונקציה שם הוא המקסימום שלה — $y=0$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מטה, כל שאר הערכים קטנים מהמקסימום, כלומר שליליים. אין אף ערך x שבו $y>0$. טעות נפוצה: לחשוב ש-"נוגע בנקודה אחת" אומר שהפונקציה חיובית בכל מקום אחר.
7. 6 — מחשבים קודם את הפונקציה הפנימית: $g(2)=3\cdot2-4=2$. כעת מציבים ב-$f$: $f(g(2))=f(2)=2^{2}+2=6$. טעות נפוצה: לחשב את הפונקציות בסדר הפוך ($g(f(2))$ במקום $f(g(2))$).
8. 16 מטרים — צריך לחשב שני גבהים ולהחסיר. הגובה ההתחלתי: $h(0)=3$. הגובה לאחר 2 שניות: $h(2)=-2\cdot2^{2}+12\cdot2+3=-8+24+3=19$. העלייה בגובה: $19-3=16$ מטרים. טעות נפוצה: לדווח על $h(2)=19$ כתשובה, ולשכוח להחסיר את הגובה ההתחלתי.
9. 10 — חיתוך עם ציר ה-x: $-x^{2}+2x+8=0 \Rightarrow x^{2}-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, x=-2$. חיתוך עם ציר ה-y: $x=0 \Rightarrow y=8$. הנקודות: $(4,0),(-2,0),(0,8)$. סכום כל השיעורים: $4+0+(-2)+0+0+8=10$. טעות נפוצה: לשכוח לכלול את נקודת החיתוך עם ציר ה-y בסכום.
10. $(2, -5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2$. נציב: $y=2\cdot2^{2}-8\cdot2+3=8-16+3=-5$. הקודקוד: $(2,-5)$.
11. 20 יחידות, רווח 750 ש"ח — $P(x)=R(x)-C(x)=100x-(2x^{2}+20x+50)=-2x^{2}+80x-50$. הרווח המרבי בקודקוד: $x=-\frac{80}{2\cdot(-2)}=20$ יחידות. $P(20)=-2\cdot20^{2}+80\cdot20-50=-800+1600-50=750$ ש"ח. טעות נפוצה: לפזר את הסימן השלילי רק על האיבר הראשון של $C(x)$ ולא על כולו, מה שמוביל לפונקציית רווח שגויה.
12. $2 < x < 10$ — פותרים את אי-השוויון $2x^{2}-24x+300<260$. מעבירים אגף: $2x^{2}-24x+40<0$, מחלקים ב-2: $x^{2}-12x+20<0$. פותרים את המשוואה $x^{2}-12x+20=0$: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}=\frac{12\pm8}{2}$, כלומר $x=2$ או $x=10$. מכיוון שהפרבולה פותחת כלפי מעלה, הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<10$. טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{64}=6$ במקום $8$, מה שנותן שורשים שגויים.
13. $-2 < x < 5$ — פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר ה-x בין שני השורשים שלה. השורשים הם $x=-2$ ו-$x=5$, ולכן הפונקציה שלילית בתחום $-2<x<5$.
14. $(3, 4)$ — משווים: $3x-5=-2x+10 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$. נציב: $y=3\cdot3-5=4$. נקודת החיתוך: $(3,4)$.
15. 5 מטרים — מצאו קודם את $a$ מתוך הנקודה $(0,0)$: $0 = a(0-6)^{2}+9 = 36a+9 \Rightarrow a=-0.25$. כעת $h(x) = -0.25(x-6)^{2}+9$. הציבו $x=10$: $h(10) = -0.25\cdot(10-6)^{2}+9 = -0.25\cdot16+9 = -4+9=5$. טעות נפוצה: להציב ישירות $a=1$ ולדלג על שלב מציאת $a$ מנקודת הפתיחה, מה שנותן תוצאה שגויה.