סימולציית בגרות 4 יח"ל — מבחן #3 מורחב (כיתה י')

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — המשולשים AOB ו-COD דומים ביחס AB:CD = 8:4 = 2:1. הגובה הכולל של הטרפז 6 מתחלק בין שני הגבהים ביחס 2:1. גובה משולש COD = 6·1/(2+1) = 2. שטח COD = (CD·גובה)/2 = (4·2)/2 = 4.
2. 12/27 — P(בן | עבר) = (בנים שעברו) / (סך שעברו) = 12 / (12+15) = 12/27.
3. $\dfrac{10}{56}$ — מחשבים בשיטת הצירופים. מספר הדרכים לבחור 3 כדורים אדומים מתוך 5: $\binom{5}{3} = 10$. מספר הדרכים לבחור 3 כדורים מתוך 8: $\binom{8}{3} = 56$. לכן ההסתברות היא $\dfrac{10}{56} = \dfrac{5}{28}$.
4. x = 1 בלבד — תנאי: x+1≥0 ⇒ x≥−1, ו-5−x≥0 ⇒ x≤5. ריבוע: 5−x = x²+2x+1 ⇒ x²+3x−4=0 ⇒ (x+4)(x−1)=0. רק x=1 בתחום.
5. y = 3 — מקביל לציר ה-x → אופקי. y = 3.
6. 10 < n < 70 — −n² + 80n − 700 > 0 ⇒ n² − 80n + 700 < 0. שורשים: 10 ו-70. בין השורשים.
7. 10 — g(2) = 2+3 = 5. f(g(2)) = f(5) = 2(5) = 10.
8. AC=8, BD=6 — במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, לכן AC = 2·AO = 8, BD = 2·BO = 6.
9. נכון — האלכסונים מאונכים — במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AB=AD. משולש ABD שווה שוקיים, ו-AO תיכון ל-BD (האלכסונים חוצים זה את זה במעוין). במשולש שווה שוקיים, התיכון ליסוד הוא גם גובה. לכן AO⊥BD ומשולש ABO ישר זווית ב-O.
10. 1/3 — לא לבן ולא אדום ⇒ שחור. P(שחור) = 4/12 = 1/3.
11. y = (1/2)x + 1/2 — שיפוע BC = (6−0)/(2−5) = −2. גובה: 1/2. y − 0 = (1/2)(x+1) ⇒ y = x/2 + 1/2.
12. 2√3 — יחס 1:√3:2. אם הצלע מול 60° = √3 · k = 6, אז k = 6/√3 = 2√3. הצלע מול 30° = k = 2√3.
13. 20 — C(6,3)=20. (בוחרים 3 לילד א', השאר הולכים לב')
14. g(x) = |x| − 5 — הזזה מטה ב-5 יחידות: g(x) = f(x) − 5 = |x| − 5.
15. g(x) = √(x − 1) + 2 — ימינה ב-1: x → x − 1. מעלה ב-2: +2. מתקבל √(x − 1) + 2 עם תחום x ≥ 1.
16. 16 — IQR = Q3 − Q1 = 28 − 12 = 16.
17. 1/2 — במטבע יש 2 תוצאות שוות-הסתברות. P(עץ) = 1/2.
18. x = 3 — מעבירים: −2x = −6 ⇒ x = 3.
19. 54 סמ² — שטח מלבן 60, פחות שטח משולש (3·4)/2=6. נשאר 54 סמ².
20. 3 יחידות מטה — הקבוע −3 נוסף לפלט של f, ולכן זו הזזה אנכית של 3 יחידות מטה.
21. 0.5 — P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.4 = 0.5.
22. 5 יחידות ימינה — g(x) = f(x − 5), והצורה f(x − p) עם p > 0 מתאימה להזזה ימינה.
23. x²−12x+100 — הורד גובה AH ל-BC. BH=6, AH=8. HP=x−6 (יכול להיות שלילי). AP²=AH²+HP²=64+(x−6)²=64+x²−12x+36=x²−12x+100.
24. 120/220 — P = (10/12)(9/11)(8/10) = 720/1320 = 6/11 = 120/220.
25. 0.3 — P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.15/0.5 = 0.3.
26. 13 — הערך המרבי 8, המזערי −5. טווח = 8 − (−5) = 8 + 5 = 13.
27. כן, בנקודה (2, 5) — 2x + 1 = −x + 7 ⇒ x = 2, y = 5. בדיקה: y = x + 3 ⇒ 5 = 2 + 3 ✓.
28. $x = 3$ — $8x + 4 - 3x + 6 = 25 \Rightarrow 5x + 10 = 25 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
29. 23 — Σ(xf) = 10·4+20·6+30·10 = 40+120+300 = 460. Σf = 20. ממוצע = 460/20 = 23.
30. 1/256 — P(נכון בכל שאלה) = 1/4. בלתי תלויים: (1/4)⁴ = 1/256.
31. 17 — הוספת קבוע c לכל ערך מעלה את הממוצע ב-c. הממוצע החדש: 12+5 = 17.
32. 5 — Σxf = 2·3 + 5·4 + 8·3 = 6+20+24 = 50. Σf = 10. ממוצע = 50/10 = 5.
33. 0.15 — P(A∩B∩C)=P(A∩B)×P(C|A∩B)=0.3×0.5=0.15.
34. 7√2/2 — יתר = 7√2. תיכון ליתר = יתר/2 = 7√2/2.
35. g(x) = √(x + 4) — הזזה שמאלה ב-p: g(x) = f(x + p) = √(x + 4).
36. x < −1 או x > 3 — x² − 2x − 3 > 0 ⇒ (x−3)(x+1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 3.
37. 68% — P(מעשן∩חולה) = 0.3·0.25 = 0.075. P(לא-מעשן∩חולה) = 0.7·0.05 = 0.035. P(מעשן|חולה) = 0.075/0.11 ≈ 0.682 ≈ 68%.
38. y = −(1/2)x + 5 — M = (2, 4). m_AB = 2. m_perp = −1/2. y − 4 = −(1/2)(x − 2) ⇒ y = −(1/2)x + 5.
39. 9/10 — סך הכל 10 כדורים. P(ירוק) = 1/10 ⟸ P(לא ירוק) = 1 − 1/10 = 9/10.
40. נטויים ימינה — אם החציון קרוב ל-Q1 — הרבעון השלישי רחב יותר ⇒ זנב ימני ארוך ⇒ נתונים נטויים ימינה.